Postać wykładnicza liczby zespolonej

Postać wykładnicza liczby zespolonej jest alternatywnym sposobem zapisu liczby zespolonej, który wykorzystuje funkcję wykładniczą i jest szczególnie użyteczny w analizie zespolonej oraz obliczeniach związanych z liczbami zespolonymi. Liczba zespolona $z$ w postaci wykładniczej wyraża się wzorem:

$$ z = |z|e^{i\varphi} $$

gdzie:

$|z|$ – jest modułem (wartością bezwzględną) liczby zespolonej, czyli długością promienia wodzącego od początku układu współrzędnych do punktu reprezentującego tę liczbę na płaszczyźnie zespolonej.
$\varphi$ – jest argumentem liczby zespolonej, czyli kątem między osią rzeczywistą a promieniem wodzącym, wyrażonym w mierze łukowej. Argument liczby zespolonej przyjmuje wartości w przedziale $\varphi \in (-\pi, \pi\rangle$.
$e$ – jest liczbą Eulera, czyli podstawą logarytmu naturalnego, o przybliżonej wartości $e \approx 2.71828$.

Związek postaci wykładniczej z postacią trygonometryczną

Postać wykładnicza liczby zespolonej opiera się na tożsamości Eulera, która wyraża zależność między funkcją wykładniczą i funkcjami trygonometrycznymi:

$$ e^{i\varphi} = \cos{\varphi} + i\sin{\varphi} $$

Stąd postać wykładnicza liczby zespolonej $z = |z|e^{i\varphi}$ jest równoważna postaci trygonometrycznej $z = |z|(\cos \varphi + i \sin \varphi)$. Warto zauważyć, że użycie postaci wykładniczej upraszcza operacje na liczbach zespolonych, takie jak mnożenie, dzielenie czy potęgowanie, co jest szczególnie przydatne w analizie i obliczeniach numerycznych.

Właściwości postaci wykładniczej

Mnożenie liczb zespolonych: W postaci wykładniczej mnożenie dwóch liczb zespolonych jest znacznie uproszczone. Jeśli $z_1 = |z_1|e^{i\varphi_1}$ i $z_2 = |z_2|e^{i\varphi_2}$, to iloczyn tych liczb jest dany wzorem: $$ z_1 \cdot z_2 = |z_1||z_2|e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} $$
Dzielenie liczb zespolonych: W postaci wykładniczej dzielenie dwóch liczb zespolonych również staje się prostsze. Dla liczb $z_1 = |z_1|e^{i\varphi_1}$ i $z_2 = |z_2|e^{i\varphi_2}$, iloraz jest dany wzorem: $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|}e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)} $$
Potęgowanie liczb zespolonych: Podnoszenie liczby zespolonej do potęgi w postaci wykładniczej jest szczególnie łatwe. Jeśli $z = |z|e^{i\varphi}$, to $z^n$ (gdzie $n$ jest liczbą całkowitą) wyraża się wzorem: $$ z^n = (|z|e^{i\varphi})^n = |z|^n e^{in\varphi} $$

Zastosowania postaci wykładniczej liczby zespolonej

Postać wykładnicza liczb zespolonych jest szeroko stosowana w różnych dziedzinach nauki i techniki, w tym:

Fizyka i inżynieria: W elektrotechnice i analizie obwodów, postać wykładnicza liczb zespolonych jest używana do reprezentacji napięć, prądów i impedancji w obwodach prądu zmiennego. Ułatwia analizę fazową i harmoniczną, szczególnie w odniesieniu do sygnałów sinusoidalnych.
Matematyka i analiza zespolona: Postać wykładnicza jest kluczowa w analizie funkcji zespolonych, takich jak funkcje wykładnicze i logarytmiczne, oraz w teorii funkcji specjalnych. Ułatwia również obliczanie całek zespolonych i badanie ciągłości oraz różniczkowalności funkcji zespolonych.
Sygnały i przetwarzanie danych: W teorii sygnałów, liczby zespolone w postaci wykładniczej są używane do analizy sygnałów sinusoidalnych, modulacji sygnałów, oraz w analizie Fourierowskiej, która jest fundamentem wielu metod przetwarzania sygnałów.

Podsumowanie

Postać wykładnicza liczby zespolonej jest potężnym narzędziem w matematyce, fizyce i inżynierii. Pozwala na efektywne wykonywanie operacji na liczbach zespolonych oraz zrozumienie ich właściwości i zastosowań. Dzięki tożsamości Eulera postać wykładnicza łączy analizę zespoloną z trygonometrią, co jest niezwykle użyteczne w wielu zastosowaniach praktycznych.