Własności funkcji logarytmicznej

Funkcja logarytmiczna f(x)=logax posiada szereg charakterystycznych własności, które różnią się nieco w zależności od wartości podstawy a. Poniżej przedstawiamy szczegółowe własności dla dwóch przypadków: a>1 oraz 0<a<1.

Własności funkcji logarytmicznej f(x)=logax dla a>1

  • Dziedzina: R+ (zbiór liczb rzeczywistych dodatnich)
  • Zbiór wartości: R (zbiór liczb rzeczywistych)
  • Monotoniczność: Funkcja jest ściśle rosnąca
  • Różnowartościowość: Funkcja jest różnowartościowa (injektywna)
  • Miejsce zerowe: Jedno miejsce zerowe x0=1
  • Parzystość: Funkcja nie jest parzysta
  • Nieparzystość: Funkcja nie jest nieparzysta
  • Ciągłość: Funkcja jest ciągła w całej swojej dziedzinie
  • Asymptota pionowa: x=0
  • Punkt przecięcia z osią OX: (1, 0)

Własności funkcji logarytmicznej f(x)=logax dla 0<a<1

  • Dziedzina: R+ (zbiór liczb rzeczywistych dodatnich)
  • Zbiór wartości: R (zbiór liczb rzeczywistych)
  • Monotoniczność: Funkcja jest ściśle malejąca
  • Różnowartościowość: Funkcja jest różnowartościowa (injektywna)
  • Miejsce zerowe: Jedno miejsce zerowe x0=1
  • Parzystość: Funkcja nie jest parzysta
  • Nieparzystość: Funkcja nie jest nieparzysta
  • Ciągłość: Funkcja jest ciągła w całej swojej dziedzinie
  • Asymptota pionowa: x=0
  • Punkt przecięcia z osią OX: (1, 0)

Dodatkowe własności wspólne dla obu przypadków

  • Pochodna: ddxlogax=1xlna
  • Całka: logaxdx=xlogaxxlna+C
  • Odwrotność: Funkcja wykładnicza o tej samej podstawie

Ważne zależności

  • loga(xy)=logax+logay
  • loga(xy)=logaxlogay
  • loga(xn)=nlogax
  • loga(1)=0
  • loga(a)=1
  • loga(ax)=x

Interpretacja geometryczna

Wykres funkcji logarytmicznej jest zwierciadlanym odbiciem wykresu funkcji wykładniczej względem prostej y=x. Ta symetria wynika z faktu, że funkcje logarytmiczna i wykładnicza są względem siebie odwrotne.

Właściwości funkcji logarytmicznej, takie jak monotoniczność i różnowartościowość, są szczególnie użyteczne w modelowaniu procesów, gdzie tempo zmian jest proporcjonalne do aktualnej wartości. Zrozumienie tych własności pozwala na efektywne rozwiązywanie problemów i analizę zjawisk w różnych dziedzinach nauki i techniki.