Własności funkcji logarytmicznej

Funkcja logarytmiczna $f(x) = \log_a x$ posiada szereg charakterystycznych własności, które różnią się nieco w zależności od wartości podstawy $a$. Poniżej przedstawiamy szczegółowe własności dla dwóch przypadków: $a > 1$ oraz $0 < a < 1$.

Własności funkcji logarytmicznej $f(x) = \log_a x$ dla $a > 1$

Dziedzina: $\mathbb{R}^+$ (zbiór liczb rzeczywistych dodatnich)
Zbiór wartości: $\mathbb{R}$ (zbiór liczb rzeczywistych)
Monotoniczność: Funkcja jest ściśle rosnąca
Różnowartościowość: Funkcja jest różnowartościowa (injektywna)
Miejsce zerowe: Jedno miejsce zerowe $x_0 = 1$
Parzystość: Funkcja nie jest parzysta
Nieparzystość: Funkcja nie jest nieparzysta
Ciągłość: Funkcja jest ciągła w całej swojej dziedzinie
Asymptota pionowa: $x = 0$
Punkt przecięcia z osią OX: (1, 0)

Własności funkcji logarytmicznej $f(x) = \log_a x$ dla $0 < a < 1$

Dziedzina: $\mathbb{R}^+$ (zbiór liczb rzeczywistych dodatnich)
Zbiór wartości: $\mathbb{R}$ (zbiór liczb rzeczywistych)
Monotoniczność: Funkcja jest ściśle malejąca
Różnowartościowość: Funkcja jest różnowartościowa (injektywna)
Miejsce zerowe: Jedno miejsce zerowe $x_0 = 1$
Parzystość: Funkcja nie jest parzysta
Nieparzystość: Funkcja nie jest nieparzysta
Ciągłość: Funkcja jest ciągła w całej swojej dziedzinie
Asymptota pionowa: $x = 0$
Punkt przecięcia z osią OX: (1, 0)

Dodatkowe własności wspólne dla obu przypadków

Pochodna: $\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x \ln a}$
Całka: $\int \log_a x dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} + C$
Odwrotność: Funkcja wykładnicza o tej samej podstawie

Ważne zależności

$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$
$\log_a (\frac{x}{y}) = \log_a x - \log_a y$
$\log_a (x^n) = n \log_a x$
$\log_a (1) = 0$
$\log_a (a) = 1$
$\log_a (a^x) = x$

Interpretacja geometryczna

Wykres funkcji logarytmicznej jest zwierciadlanym odbiciem wykresu funkcji wykładniczej względem prostej $y = x$. Ta symetria wynika z faktu, że funkcje logarytmiczna i wykładnicza są względem siebie odwrotne.

Właściwości funkcji logarytmicznej, takie jak monotoniczność i różnowartościowość, są szczególnie użyteczne w modelowaniu procesów, gdzie tempo zmian jest proporcjonalne do aktualnej wartości. Zrozumienie tych własności pozwala na efektywne rozwiązywanie problemów i analizę zjawisk w różnych dziedzinach nauki i techniki.