Liczby czysto urojone

Liczby czysto urojone to szczególny przypadek liczb zespolonych, które mają postać $z = bi$, gdzie $b$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, a $a = 0$. Innymi słowy, liczby czysto urojone to liczby zespolone, które nie posiadają części rzeczywistej.

Definicja i przykład

Liczba zespolona, której część rzeczywista jest równa zero, a część urojona jest różna od zera, nazywana jest liczbą czysto urojoną. Przykładami liczb czysto urojonych mogą być:

• $z = 3i$
• $z = -7i$
• $z = \frac{5}{2}i$

Wszystkie te liczby mają postać $z = bi$, gdzie $b$ jest rzeczywiste, a $i$ jest jednostką urojoną, którą definiujemy jako $i = \sqrt{-1}$. Aby dowiedzieć się więcej o jednostce urojonej, odwiedź stronę poświęconą jednostce urojonej.

Interpretacja geometryczna

Na płaszczyźnie zespolonej, liczby czysto urojone są przedstawione jako punkty na osi urojonej (oś rzędnych), ponieważ ich część rzeczywista wynosi zero. Współrzędna każdego takiego punktu jest równa wartości $b$, co oznacza, że liczba czysto urojona $z = bi$ odpowiada punktowi $(0, b)$ na płaszczyźnie zespolonej. Więcej o tym, jak liczby zespolone są przedstawiane geometrycznie, możesz przeczytać na stronie interpretacja geometryczna liczb zespolonych.

Własności liczb czysto urojonych

Liczby czysto urojone posiadają kilka ciekawych własności:

• Kwadrat każdej liczby czysto urojonej jest liczbą rzeczywistą ujemną: $$(bi)^2 = b^2 \cdot i^2 = -b^2.$$
• Moduł liczby czysto urojonej $z = bi$ wynosi $|z| = |b|$.
• Sprzężenie liczby czysto urojonej $z = bi$ jest równe $-bi$, czyli $\overline{z} = -bi$.

Przykłady działań na liczbach czysto urojonych

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb czysto urojonych są operacjami prostymi. Oto kilka przykładów:

Dodawanie:

$z_1 = 3i$, $z_2 = 5i$
$z_1 + z_2 = (3i) + (5i) = 8i$

Odejmowanie:

$z_1 = 7i$, $z_2 = 4i$
$z_1 - z_2 = (7i) - (4i) = 3i$

Mnożenie:

$z_1 = 2i$, $z_2 = -3i$
$z_1 \cdot z_2 = (2i) \cdot (-3i) = -6i^2 = 6$

Dzielenie:

$z_1 = 6i$, $z_2 = 2i$
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{6i}{2i} = 3$

Zastosowania liczb czysto urojonych

Liczby czysto urojone są wykorzystywane w wielu dziedzinach nauki i techniki. Są szczególnie ważne w teorii sygnałów, analizie obwodów elektrycznych oraz w mechanice kwantowej. Na przykład, analiza sygnałów często posługuje się liczbami czysto urojonymi w kontekście reprezentacji sygnałów sinusoidalnych.

Podsumowanie

Liczby czysto urojone są fundamentalnym pojęciem w teorii liczb zespolonych. Ich unikalne własności i interpretacja geometryczna sprawiają, że są one niezastąpione w zaawansowanej matematyce oraz jej praktycznych zastosowaniach, takich jak analiza sygnałów czy teoria obwodów elektrycznych.