Podział wielomianów przez wielomian liniowy (schemat Hornera)

Schemat Hornera to metoda umożliwiająca szybkie podzielenie wielomianu przez wielomian liniowy. W szczególności stosuje się go do dzielenia wielomianu przez wyrażenie postaci $x - r$, gdzie $r$ jest pewną liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Metoda ta upraszcza operacje, skracając liczbę działań koniecznych do wykonania podziału.

Definicja

Załóżmy, że mamy wielomian $P(x)$ stopnia $n$ postaci:

$$ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 $$

Chcemy podzielić ten wielomian przez wyrażenie $x - r$. W wyniku podziału uzyskujemy wielomian wynikowy $Q(x)$ o jeden stopień niższy niż $P(x)$ oraz resztę $R$, która jest liczbą:

$$ P(x) = (x - r) Q(x) + R $$

Wynik obliczamy, stosując schemat Hornera.

Przykład dzielenia wielomianu za pomocą schematu Hornera

Rozważmy wielomian:

$$ P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 2x - 1 $$

Chcemy podzielić go przez $x - 2$. Aby to zrobić, stosujemy schemat Hornera.

Kroki dzielenia za pomocą schematu Hornera

1. Wypisz współczynniki wielomianu $P(x)$. W tym przypadku współczynniki to: 2, -6, 2, -1.
2. Przepisz pierwszy współczynnik (2) bez zmian.
3. Mnożymy tę liczbę przez wartość $r$ (w naszym przypadku $r = 2$) i wynik zapisujemy poniżej kolejnego współczynnika. Dodajemy te dwie liczby.
4. Powtarzamy proces, mnożąc wynik przez $r$ i dodając do następnego współczynnika.

Przykładowe obliczenia:

Wynikiem dzielenia jest:

$$ Q(x) = 2x^2 - 2x - 2, \quad \text{reszta } R = -5 $$

Podsumowując:

$$ P(x) = (x - 2)(2x^2 - 2x - 2) - 5 $$

Znaczenie schematu Hornera

Schemat Hornera pozwala na szybkie podzielenie wielomianu przez wyrażenie liniowe i uzyskanie wyniku w postaci wielomianu o jeden stopień niższym oraz reszty. Jest to szczególnie przydatne w sytuacjach, gdzie konieczne jest wielokrotne dzielenie wielomianów lub obliczanie wartości wielomianu dla różnych argumentów. Schemat ten jest często stosowany w analizie funkcji, w rachunku różniczkowym i całkowym oraz w zastosowaniach inżynierskich.

Inne zastosowania schematu Hornera

• Obliczanie wartości wielomianu: Schemat Hornera może być również stosowany do szybkiego obliczania wartości wielomianu dla danej liczby $r$. W tym przypadku reszta podziału $R$ będzie równa wartości $P(r)$.
• Rozkład wielomianów: Metoda ta może być używana jako krok w procesie rozkładu wielomianu na czynniki, gdy znamy jeden pierwiastek wielomianu.

Podsumowanie

Schemat Hornera to potężna metoda algebraiczna, która pozwala na uproszczenie procesu dzielenia wielomianów przez wyrażenia liniowe. Dzięki niemu możemy szybko obliczyć wielomian wynikowy oraz resztę. Metoda ta znajduje szerokie zastosowanie zarówno w edukacji, jak i w analizie matematycznej.