Wykres funkcji logarytmicznej

Wykresem funkcji logarytmicznej jest krzywa logarytmiczna. Jest ona zwierciadlanym odbiciem krzywej wykładniczej względem prostej $y=x$. Ta symetria wynika z faktu, że funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej.

Kluczowe cechy wykresu funkcji logarytmicznej:

  • Dziedzina: Funkcja logarytmiczna istnieje tylko dla $x > 0$. Wynika to z definicji logarytmu, który jest określony tylko dla liczb dodatnich.
  • Punkt przecięcia z osią OX: Wykres zawsze przechodzi przez punkt (1, 0), niezależnie od podstawy logarytmu.
  • Asymptota pionowa: Oś OY ($x = 0$) jest asymptotą pionową wykresu. Krzywa zbliża się do niej tym szybciej, im większa jest wartość $|\ln a|$, gdzie $a$ jest podstawą logarytmu.
  • Ciągłość: Funkcja logarytmiczna jest ciągła w całej swojej dziedzinie.
  • Różnowartościowość: Każda wartość $y$ odpowiada dokładnie jednej wartości $x$, co czyni funkcję logarytmiczną funkcją różnowartościową.

Wykres funkcji logarytmicznej dla $a > 1$

Gdy podstawa logarytmu $a$ jest większa od 1, funkcja logarytmiczna jest rosnąca. Jej wykres ma następujące cechy:

  • Funkcja jest ściśle rosnąca
  • Wartości funkcji rosną od $-\infty$ (gdy $x$ zbliża się do 0 od prawej strony) do $+\infty$ (gdy $x$ rośnie nieograniczenie)
  • Wykres jest wypukły, co oznacza, że tempo wzrostu maleje wraz ze wzrostem $x$
Wykres funkcji logarytmicznej rosnącej.

Wykres funkcji logarytmicznej dla $0 < a < 1$

Gdy podstawa logarytmu $a$ znajduje się między 0 a 1, funkcja logarytmiczna jest malejąca. Jej wykres charakteryzuje się następującymi cechami:

  • Funkcja jest ściśle malejąca
  • Wartości funkcji maleją od $+\infty$ (gdy $x$ zbliża się do 0 od prawej strony) do $-\infty$ (gdy $x$ rośnie nieograniczenie)
  • Wykres jest wklęsły, co oznacza, że tempo spadku maleje wraz ze wzrostem $x$
Wykres funkcji logarytmicznej malejącej.

Szczególne przypadki

  • Logarytm naturalny Wykres funkcji $f(x) = \ln x$ (logarytm o podstawie $e \approx 2.71828$) jest często używany jako reprezentatywny przykład funkcji logarytmicznej.
  • Logarytm dziesiętny: Wykres funkcji $f(x) = \log_{10} x$ jest powszechnie stosowany w naukach przyrodniczych i inżynierii ze względu na wygodę w obliczeniach.

Wykres funkcji logarytmicznej, ze swoją charakterystyczną formą, pozwala na wizualizację i analizę wielu zjawisk naturalnych i procesów, szczególnie tych, które wykazują szybki wzrost lub spadek w początkowej fazie, a następnie stabilizują się lub zwalniają.