Wykres funkcji liniowej

Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Kształt i położenie tej prostej na płaszczyźnie kartezjańskiej zależą od wartości współczynników $a$ i $b$ w równaniu $y = ax + b$.

Wpływ współczynników na wykres

Współczynnik kierunkowy $a$

Od współczynnika kierunkowego $a$ zależy kierunek prostej oraz jej nachylenie do osi X:

  • Gdy $a > 0$, funkcja jest rosnąca, a prosta nachylona jest w prawo (w górę).
  • Gdy $a < 0$, funkcja jest malejąca, a prosta nachylona jest w lewo (w dół).
  • Gdy $a = 0$, funkcja jest stała, a prosta jest równoległa do osi X.

Im większa wartość bezwzględna $|a|$, tym bardziej stroma jest prosta.

Wyraz wolny $b$

Wyraz wolny $b$ określa punkt przecięcia prostej z osią Y:

  • Gdy $b > 0$, prosta przecina oś Y powyżej początku układu współrzędnych.
  • Gdy $b < 0$, prosta przecina oś Y poniżej początku układu współrzędnych.
  • Gdy $b = 0$, prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych (0,0).

Graficzna interpretacja

Wykres funkcji liniowej zależny od współczynnika kierunkowego a.

Na powyższym rysunku widoczne są dwa przykłady wykresów funkcji liniowej:

  • Po lewej stronie: funkcja rosnąca (dla $a > 0$)
  • Po prawej stronie: funkcja malejąca (dla $a < 0$)

Kluczowe punkty na wykresie

Miejsce zerowe

Miejsce zerowe funkcji liniowej to punkt przecięcia wykresu z osią X. Jego współrzędna x wynosi:

$$x_0 = -\frac{b}{a}$$

To miejsce jest zaznaczone na obu wykresach jako $x_0$.

Punkt przecięcia z osią Y

Punkt przecięcia z osią Y ma zawsze współrzędne $(0, b)$, gdzie $b$ to wyraz wolny funkcji.

Interpretacja geometryczna współczynników

  • $a$ - tangens kąta nachylenia prostej do osi OX
  • $b$ - rzędna punktu przecięcia prostej z osią OY

Przykłady

Przykład 1: $y = 2x + 3$

- Funkcja rosnąca ($a > 0$)
- Przecina oś Y w punkcie (0, 3)
- Miejsce zerowe: $x_0 = -\frac{3}{2} = -1.5$

Przykład 2: $y = -x - 1$

- Funkcja malejąca ($a < 0$)
- Przecina oś Y w punkcie (0, -1)
- Miejsce zerowe: $x_0 = -\frac{-1}{-1} = -1$

Podsumowanie

Wykres funkcji liniowej, mimo swojej prostoty, niesie ze sobą wiele informacji o samej funkcji. Umiejętność interpretacji tego wykresu i rozumienie wpływu współczynników $a$ i $b$ na jego kształt i położenie są kluczowe w analizie matematycznej, fizyce, ekonomii i wielu innych dziedzinach nauki. Wykres funkcji liniowej stanowi również podstawę do zrozumienia bardziej złożonych funkcji i ich wykresów.