Rozkład dwumianowy
Rozkład dwumianowy. W zagadnieniach praktycznych często spotykamy się z następującą sytuacją:
W wyniku pewnego doświadczenia może zajść z prawdopodobieństwem $p$ pewne zdarzenie $A$ (zwane inaczej sukcesem) lub z prawdopodobieństwem $1-p$ może zajść zdarzenie przeciwne $\overline{A}$. Dokonujemy $n$ niezależnych doświadczeń i interesujemy się łączną ilością $S_n$ sukcesów w tych $n$ doświadczeniach. Wówczas
$$P\{S_n=k\}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}\qquad (k=0, 1, 2, ...,n)$$
Wzór powyższy przy dużych wartościach $n$ nie jest wygodny dla obliczeń numerycznych. Możemy posługiwać się w takich przypadkach jednym z następujących twierdzeń:
Twierdzenie Poissona. Jeżeli $n\to\infty$ i $p\to 0$ tak, że $np=\lambda\gt 0$, to
$$\lim_{n\to\infty} P\{S_n=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\qquad (k=0, 1, 2, ...)$$
W praktyce twierdzenie Poissona pozwala zastępować lewą stronę wzoru pierwszego przez prawą stronę wzoru drugiego już dla niewielkich $n$ (rzędu kilkudziesięciu) przy małych $p$ (dla których iloczyn $\lambda=np$ nie przekracza $10$).
Twierdzenie de Moivre'a_laplace'a. Jeżeli $0\lt p\lt 1$, to dla dowolnych $a\lt b$ zachodzi wzór
$$\lim_{n\to\infty} P\left\{a\le\frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le b\right\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-\frac12 t^2} dt$$
Wzór ten pozwala nam obliczać dla dużych $n$ (rzędu kilkudziesięciu) przybliżone wartości prawdopodobieństwa, że ilość sukcesów $S_n$ będzie zawarta w przedziale
$$\langle np+a\sqrt{np(1-p)}; np+b\sqrt{np(1-p)}\rangle$$
Przykład 1.
Wyobraźmy sobie, że $2%$ sztuk lamp produkowanych przez pewną fabrykę ma ukryte wady. Lampy te pakowane są w pudełka po 100 sztuk każde. Wówczas prawdopodobieństwo, że $k$ sztuk w pudełku jest wadliwych, wynosi w przybliżeniu $p_k=\frac{2^k}{k!} e^{-2} \quad (n=100, p=0,02, \lambda =np=2)$. W szczególności $p_0=0,135, p_1=0,270$. Aby odpowiedzieć na pytanie, po ile sztuk co najmniej lamp należy pakować do pudełka, aby $99%$ pudełek zawierało nie mniej niż 100 sztuk dobrych, należy znaleźć najmniejszą taką liczbę naturalną $x$, aby $e^{-\lambda}+\lambda e^{-\lambda}+\frac{\lambda^2}{2!}+...+\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\ge 0,99$, gdzie $\lambda=(100+x)\cdot0,02$.