Rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy jest jednym z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa w statystyce i teorii prawdopodobieństwa. Opisuje on sytuacje, w których interesuje nas liczba sukcesów w serii $n$ niezależnych prób, z których każda kończy się sukcesem z prawdopodobieństwem $p$ lub porażką z prawdopodobieństwem $1-p$. W tym kontekście, sukcesem może być dowolne zdarzenie interesujące, np. wyrzucenie orła w rzucie monetą lub trafienie do celu w strzelaniu. Zdarzenie przeciwne, oznaczane jako $\overline{A}$, to porażka, która występuje z prawdopodobieństwem $1-p$.

Definicja rozkładu dwumianowego

Jeśli dokonujemy $n$ niezależnych prób i interesujemy się łączną liczbą sukcesów $S_n$ w tych $n$ próbach, to prawdopodobieństwo, że liczba sukcesów wyniesie dokładnie $k$, wyraża się wzorem:

$$ P\{S_n = k\} = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \qquad (k = 0, 1, 2, ..., n) $$

gdzie $\binom{n}{k}$ to symbol Newtona, oznaczający liczbę kombinacji $k$ elementów z $n$, co można obliczyć jako $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Rozkład dwumianowy opisuje zatem prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie $k$ sukcesów w $n$ próbach.

Zastosowanie rozkładu dwumianowego

Rozkład dwumianowy jest szeroko stosowany w różnych dziedzinach nauki, takich jak biologia, ekonomia, inżynieria i nauki społeczne. Pozwala on na modelowanie sytuacji, w których interesuje nas liczba sukcesów w serii prób, np. liczba osób, które przeszły test, liczba zadowolonych klientów, czy liczba wadliwych produktów w partii.

Przybliżenia rozkładu dwumianowego

W praktyce, dla dużych wartości $n$, obliczenia dokładne przy użyciu wzoru na rozkład dwumianowy mogą być trudne do wykonania. W takich przypadkach można korzystać z przybliżeń, takich jak twierdzenie Poissona i twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a.

Twierdzenie Poissona

Twierdzenie Poissona jest używane, gdy liczba prób $n$ jest duża, a prawdopodobieństwo sukcesu $p$ jest małe, tak że iloczyn $\lambda = np$ pozostaje skończony. Twierdzenie mówi, że jeśli $n \to \infty$ i $p \to 0$ tak, że $np = \lambda > 0$, to:

$$ \lim_{n \to \infty} P\{S_n = k\} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \qquad (k = 0, 1, 2, ...) $$

W praktyce, twierdzenie Poissona pozwala na przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona już dla stosunkowo małych wartości $n$ (rzędu kilkudziesięciu) i małych wartości $p$ (gdzie $\lambda = np$ nie przekracza 10).

Twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a

Twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a jest używane, gdy liczba prób $n$ jest duża, a prawdopodobieństwo sukcesu $p$ jest dowolne, ale w granicach od 0 do 1. Twierdzenie mówi, że dla dowolnych $a < b$ zachodzi wzór:

$$ \lim_{n \to \infty} P\left\{a \leq \frac{S_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq b\right\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_a^b e^{-\frac{1}{2}t^2} dt $$

W praktyce, twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a pozwala obliczać przybliżone wartości prawdopodobieństwa, że liczba sukcesów $S_n$ będzie zawarta w określonym przedziale, gdy $n$ jest duże. Przedział ten można wyrazić jako:

$$ \langle np + a\sqrt{np(1-p)}; np + b\sqrt{np(1-p)} \rangle $$

Przykład zastosowania rozkładu dwumianowego

Przykład 1: Wadliwe lampy

Załóżmy, że 2% lamp produkowanych przez pewną fabrykę ma ukryte wady. Lampy te są pakowane w pudełka po 100 sztuk każde. Prawdopodobieństwo, że $k$ sztuk w pudełku jest wadliwych, można przybliżyć za pomocą rozkładu Poissona:

$$ p_k = \frac{2^k}{k!}e^{-2} \quad (n = 100, p = 0.02, \lambda = np = 2) $$

Na przykład, $p_0 = 0.135$ i $p_1 = 0.270$, co oznacza, że prawdopodobieństwo, że w pudełku nie ma wadliwych lamp, wynosi około 13,5%, a prawdopodobieństwo, że jest dokładnie jedna wadliwa lampa, wynosi około 27%.

Przykład 2: Minimalna liczba lamp w pudełku

Aby znaleźć minimalną liczbę lamp w pudełku, która zapewni, że 99% pudełek zawiera co najmniej 100 dobrych lamp, należy rozwiązać równanie:

$$ e^{-\lambda} + \lambda e^{-\lambda} + \frac{\lambda^2}{2!} + ... + \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} \geq 0.99 $$

gdzie $\lambda = (100 + x) \cdot 0.02$. Rozwiązanie tego równania pozwala określić, ile lamp należy dodać do pudełka, aby spełnić warunek, że przynajmniej 99% pudełek zawiera co najmniej 100 dobrych lamp.

Zastosowania rozkładu dwumianowego w praktyce

Rozkład dwumianowy i jego przybliżenia są niezwykle przydatne w wielu dziedzinach nauki i techniki. Pozwalają na modelowanie procesów losowych, takich jak produkcja wadliwych produktów, badania kliniczne, ocena ryzyka w finansach i analiza wyników w naukach społecznych. Zrozumienie rozkładu dwumianowego jest kluczowe dla każdego, kto chce efektywnie stosować rachunek prawdopodobieństwa w praktyce.