Zadanie 15

Aby rozwiązać to zadanie, przypomnijmy sobie podstawowe zależności między funkcjami trygonometrycznymi oraz skorzystajmy z definicji tangensa.

Rozwiązanie:

1. Wyrażenie tangensa przez sinus i cosinus.

Wiemy, że tangens kąta $\alpha$ można zapisać jako stosunek sinusa do cosinusa:

$$\text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.$$

Podstawiamy to wyrażenie do równania podanego w treści zadania:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha.$$

2. Mnożenie obu stron równania przez $\cos\alpha$.

Aby uprościć równanie, pomnóżmy obie strony przez $\cos\alpha$ (zakładamy, że $\cos\alpha \neq 0$):

$$\sin\alpha = 2\sin\alpha \cdot \cos\alpha.$$

3. Podzielenie obu stron przez $\sin\alpha$.

Zakładając, że $\sin\alpha \neq 0$, możemy podzielić obie strony równania przez $\sin\alpha$:

$$1 = 2\cos\alpha.$$

4. Obliczenie wartości $\cos\alpha$.

Teraz dzielimy obie strony równania przez 2, aby wyznaczyć $\cos\alpha$:

$$\cos\alpha = \frac{1}{2}.$$

5. Wyznaczenie kąta $\alpha$.

Wiemy, że dla kąta $\alpha$ spełniającego warunek $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, wartość $\cos\alpha = \frac{1}{2}$ odpowiada kątowi $\alpha = 60^\circ$. Wartość $60^\circ$ odpowiada również warunkowi $\sin\alpha = \frac{1}{2}$.

Wniosek:

Odpowiedzią do zadania jest A, ponieważ $\cos\alpha = \frac{1}{2}$ dla kąta $\alpha = 60^\circ$.