Zadanie 17

W tym zadaniu musimy znaleźć miarę kąta ostrego rombu, korzystając z jego pola oraz właściwości trygonometrycznych.

Rozwiązanie:

1. Wyznaczenie wartości $\sin \alpha$.

W rombie o obwodzie równym $8$, wszystkie cztery boki mają tę samą długość. Dlatego długość każdego boku wynosi:

$$a = \frac{8}{4} = 2.$$

Wiemy, że pole rombu możemy obliczyć ze wzoru:

$$P = a^2 \sin \alpha.$$

Z treści zadania wynika, że pole rombu wynosi $1$. Podstawiamy znane wartości do wzoru:

$$1 = 2^2 \sin \alpha.$$

Uprościmy to równanie:

$$1 = 4 \sin \alpha.$$

Aby znaleźć wartość $\sin \alpha$, dzielimy obie strony równania przez $4$:

$$\sin \alpha = \frac{1}{4}.$$

2. Odczytanie odpowiedniej miary kąta z tablic trygonometrycznych.

Teraz musimy znaleźć kąt, dla którego $\sin \alpha = 0.25$. Wartość $\sin \alpha = 0.25$ jest między wartością dla kąta $14°$ a kąta $15°$. Sprawdzając tablice trygonometryczne, możemy stwierdzić, że:

$$\sin 14° \approx 0.2419, \quad \sin 15° \approx 0.2588.$$

Zatem kąt $\alpha$ jest większy niż $14°$ i mniejszy niż $15°$.

Wniosek:

Prawidłowa odpowiedź to: miara kąta ostrego rombu jest większa niż $14°$ i mniejsza niż $15°$, dlatego poprawna jest odpowiedź A.