Zadanie 18

Aby dwie proste były równoległe, muszą mieć takie same współczynniki kierunkowe. W zadaniu podano równania dwóch prostych:

• Prosta $ l $ o równaniu $ y = m^2x + m $
• Prosta $ k $ o równaniu $ y = 4x - 4 $

Rozwiązanie:

1. Porównanie współczynników kierunkowych.

Aby proste $ l $ i $ k $ były równoległe, ich współczynniki kierunkowe muszą być równe. Dla prostej $ l $ współczynnikiem kierunkowym jest $ m^2 $, a dla prostej $ k $ współczynnikiem kierunkowym jest $ 4 $. Zatem mamy równanie:

$$m^2 = 4.$$

2. Rozwiązanie równania kwadratowego.

Aby znaleźć wartość $ m $, rozwiążemy równanie kwadratowe:

$$m^2 - 4 = 0.$$

Równanie to jest równaniem kwadratowym, które możemy rozwiązać, stosując wzory skróconego mnożenia lub faktoryzację:

$$m^2 - 4 = (m - 2)(m + 2) = 0.$$

3. Znalezienie pierwiastków równania.

Z faktoryzacji wynika, że równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki:

$$m - 2 = 0 \quad \text{lub} \quad m + 2 = 0.$$

Stąd:

$$m = 2 \quad \text{lub} \quad m = -2.$$

4. Wybór właściwej odpowiedzi.

Z podanych opcji wybieramy te, które pasują do naszych rozwiązań. Zauważamy, że w treści zadania chodzi o wartość $ m $, dla której proste są równoległe. Zatem odpowiedzią jest:

A: $ m = 2 $.

Wniosek:

Proste są równoległe, gdy $ m = 2 $, co jest zgodne z odpowiedzią A.