Zadanie 2

Aby rozwiązać to zadanie, przypomnimy sobie zasady operowania logarytmami oraz własności potęg. Skorzystamy z definicji logarytmu oraz przekształceń potęgowych.

Rozwiązanie:

1. Obliczenie pierwszego logarytmu.

Mamy równanie logarytmiczne:

$${\log }_{\frac{1}{4}}64=b.$$

Zgodnie z definicją logarytmu, możemy to równanie zapisać w postaci potęgowej:

$${\left(\frac{1}{4}\right)}^b=64.$$

Wyrażenie $\frac{1}{4}$ możemy przedstawić jako $4^{-1}$, a liczbę $64$ jako $4^3$. Po podstawieniu mamy:

$$(4^{-1}{)}^b=4^3.$$

Po uproszczeniu równania otrzymujemy:

$$4^{-b}=4^3.$$

Skoro podstawy potęg są równe, możemy porównać wykładniki:

$$\begin{gathered} -b=3 \\ b=-3. \end{gathered}$$

2. Obliczenie drugiego logarytmu.

Podobnie postępujemy z drugim logarytmem:

$${\log }_{\frac{1}{3}}27=c.$$

Przekształcamy równanie logarytmiczne do postaci potęgowej:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^c=27.$$

Ułamek $\frac{1}{3}$ można zapisać jako $3^{-1}$, a liczbę $27$ jako $3^3$. Po podstawieniu otrzymujemy:

$$(3^{-1}{)}^c=3^3.$$

Uproszczenie daje nam:

$$3^{-c}=3^3.$$

Znów, porównując wykładniki, dostajemy:

$$\begin{gathered} -c=3 \\ c=-3. \end{gathered}$$

3. Obliczenie iloczynu $abc$.

Mając wyliczone wartości logarytmów $b=-3$ i $c=-3$, możemy obliczyć iloczyn $abc$:

$$a=-\frac{1}{27},b=-3,c=-3.$$

Obliczamy iloczyn:

$$abc=(-\frac{1}{27})\times (-3)\times (-3).$$

Iloczyn trzech liczb ujemnych jest liczbą ujemną, więc:

$$abc=-\frac{1\cdot 3\cdot 3}{27}.$$

Upraszczamy ułamek, dzieląc licznik i mianownik przez 9:

$$abc=-\frac{9}{27}=-\frac{1}{3}.$$

Wniosek:

Iloczyn $abc$ wynosi $-\frac{1}{3}$, więc poprawna odpowiedź to C.

Jeśli film nie ładuje się poprawnie, może to być spowodowane blokerem reklam. Spróbuj wyłączyć blokera dla tej strony.