Zadanie 2

Aby rozwiązać to zadanie, przypomnimy sobie zasady operowania logarytmami oraz własności potęg. Skorzystamy z definicji logarytmu oraz przekształceń potęgowych.

Rozwiązanie:

1. Obliczenie pierwszego logarytmu.

Mamy równanie logarytmiczne:

$$\log_{\frac{1}{4}}{64} = b.$$

Zgodnie z definicją logarytmu, możemy to równanie zapisać w postaci potęgowej:

$${\left(\frac{1}{4}\right)}^b = 64.$$

Wyrażenie $\frac{1}{4}$ możemy przedstawić jako $4^{-1}$, a liczbę $64$ jako $4^3$. Po podstawieniu mamy:

$$(4^{-1})^b = 4^3.$$

Po uproszczeniu równania otrzymujemy:

$$4^{-b} = 4^3.$$

Skoro podstawy potęg są równe, możemy porównać wykładniki:

$$-b = 3 \\ b = -3.$$

2. Obliczenie drugiego logarytmu.

Podobnie postępujemy z drugim logarytmem:

$$\log_{\frac{1}{3}}{27} = c.$$

Przekształcamy równanie logarytmiczne do postaci potęgowej:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^c = 27.$$

Ułamek $\frac{1}{3}$ można zapisać jako $3^{-1}$, a liczbę $27$ jako $3^3$. Po podstawieniu otrzymujemy:

$$(3^{-1})^c = 3^3.$$

Uproszczenie daje nam:

$$3^{-c} = 3^3.$$

Znów, porównując wykładniki, dostajemy:

$$-c = 3 \\ c = -3.$$

3. Obliczenie iloczynu $abc$.

Mając wyliczone wartości logarytmów $b = -3$ i $c = -3$, możemy obliczyć iloczyn $abc$:

$$a = -\frac{1}{27}, \quad b = -3, \quad c = -3.$$

Obliczamy iloczyn:

$$abc = \left(-\frac{1}{27}\right) \times (-3) \times (-3).$$

Iloczyn trzech liczb ujemnych jest liczbą ujemną, więc:

$$abc = -\frac{1 \cdot 3 \cdot 3}{27}.$$

Upraszczamy ułamek, dzieląc licznik i mianownik przez 9:

$$abc = -\frac{9}{27} = -\frac{1}{3}.$$

Wniosek:

Iloczyn $abc$ wynosi $-\frac{1}{3}$, więc poprawna odpowiedź to C.

Jeśli film nie ładuje się poprawnie, może to być spowodowane blokerem reklam. Spróbuj wyłączyć blokera dla tej strony.