Aby znaleźć współrzędne punktu $K$, który jest środkiem odcinka $MN$, skorzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka. Współrzędne środka odcinka to średnia arytmetyczna współrzędnych jego końców.
Rozwiązanie:
1. Obliczenie współrzędnych punktu $K$.
Punkty $M$ i $N$ mają współrzędne $M = (-2, 1)$ i $N = (-1, 3)$. Współrzędne punktu $K$, który jest środkiem odcinka $MN$, obliczamy jako średnią arytmetyczną współrzędnych końców odcinka:
$$K = \left( \frac{-2 + (-1)}{2}, \frac{1 + 3}{2} \right).$$
Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy:
$$K = \left( \frac{-3}{2}, 2 \right) = \left( -\frac{3}{2}, 2 \right).$$
2. Wyznaczenie współrzędnych obrazu punktu $K$ w symetrii względem początku układu współrzędnych.
Aby znaleźć współrzędne obrazu punktu $K$ w symetrii względem początku układu współrzędnych, zmieniamy znaki obu współrzędnych punktu $K$. Jeśli punkt $K$ ma współrzędne $\left( x, y \right)$, to jego obraz $K'$ względem początku układu współrzędnych będzie miał współrzędne $\left( -x, -y \right)$. Zatem:
$$K' = \left( -\left(-\frac{3}{2}\right), -2 \right) = \left( \frac{3}{2}, -2 \right).$$
Wniosek:
Współrzędne obrazu punktu $K$ to $\left( \frac{3}{2}, -2 \right)$. Zatem odpowiedzią do zadania jest D.