Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, musimy znaleźć sumę pól ścian bocznych oraz pól podstaw.
Rozwiązanie:
1. Obliczenie pola ścian bocznych.
Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma trzy ściany boczne, które są prostokątami. W tym przypadku są to kwadraty o boku równym $ 8 $. Pole jednej ściany bocznej można wyliczyć ze wzoru na pole kwadratu:
$$P_b = a^2 = 8^2 = 64.$$
Całkowite pole wszystkich trzech ścian bocznych wynosi:
$$3 \cdot P_b = 3 \cdot 64 = 192.$$
2. Obliczenie pola podstaw.
Podstawy graniastosłupa są trójkątami równobocznymi o boku długości $ 8 $. Pole trójkąta równobocznego można obliczyć ze wzoru:
$$P_p = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}.$$
Podstawiając $ a = 8 $, otrzymujemy:
$$P_p = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16 \sqrt{3}.$$
Ponieważ graniastosłup ma dwie podstawy, całkowite pole podstaw wynosi:
$$2 \cdot P_p = 2 \cdot 16 \sqrt{3} = 32 \sqrt{3}.$$
3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Pole powierzchni całkowitej $ P_c $ graniastosłupa jest sumą pól ścian bocznych i pól podstaw:
$$P_c = 3 \cdot P_b + 2 \cdot P_p.$$
Podstawiając obliczone wartości, otrzymujemy:
$$P_c = 192 + 32 \sqrt{3}.$$
Możemy również zapisać to wyrażenie w postaci uproszczonej, wyłączając $ 8^2 $ przed nawias:
$$P_c = 8^2 \left(3 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right).$$
Wniosek:
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wynosi $ 8^2 \left(3 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $, co odpowiada odpowiedzi D.