Zadanie 26

Aby rozwiązać tę nierówność kwadratową, musimy najpierw rozwinąć nawiasy, a następnie przenieść wszystkie wyrazy na jedną stronę równania i rozwiązać powstałą nierówność.

Rozwiązanie:

1. Rozwinięcie nawiasów.

Zaczynamy od rozwinięcia wyrażeń po prawej stronie nierówności, mnożąc każdy wyraz z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz z drugiego nawiasu:

$$2x^2 - 4x > x^2 - 2x + 3x - 6.$$

2. Przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę nierówności.

Przenieśmy wszystkie wyrazy na lewą stronę, aby uzyskać standardową formę nierówności kwadratowej:

$$2x^2 - x^2 - 4x + 2x - 3x + 6 > 0.$$

3. Zsumowanie wyrazów.

Zredukujmy podobne wyrazy, aby uprościć wyrażenie:

$$x^2 - 5x + 6 > 0.$$

4. Obliczenie delty ($ \Delta $) i wyznaczenie pierwiastków równania kwadratowego.

Delta ($ \Delta $) jest kluczowym elementem w rozwiązywaniu równań kwadratowych. Obliczmy ją:

$$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1.$$

Ponieważ delta jest dodatnia ($ \Delta > 0 $), równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki. Wyznaczamy je za pomocą wzorów kwadratowych:

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2,$$

$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3.$$

5. Interpretacja graficzna - narysowanie paraboli.

Aby lepiej zrozumieć rozwiązanie, narysujmy wykres funkcji kwadratowej $ y = x^2 - 5x + 6 $. Parabola ma dwa pierwiastki $ x_1 = 2 $ i $ x_2 = 3 $, a ponieważ współczynnik $ a = 1 $ jest dodatni, ramiona paraboli są skierowane w górę:

6. Wyznaczenie przedziałów, dla których nierówność jest spełniona.

Nierówność kwadratowa $ x^2 - 5x + 6 > 0 $ jest spełniona wtedy, gdy wartości funkcji kwadratowej są dodatnie. Patrząc na wykres, widzimy, że dzieje się tak dla:

$$x \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty).$$

Wniosek:

Rozwiązaniem nierówności $ x^2 - 5x + 6 > 0 $ są liczby rzeczywiste $ x $ należące do przedziałów $ (-∞, 2) $ oraz $ (3, ∞) $.