Zadanie 27

Aby wykazać, że dana nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x $ i $ y $, musimy udowodnić, że wyrażenie po lewej stronie jest zawsze większe lub równe zero. Innymi słowy, wyrażenie to musi być nieujemne dla dowolnych wartości $ x $ i $ y $.

Rozwiązanie:

1. Analiza wyrażenia i przekształcenie do postaci sumy kwadratów.

Rozpocznijmy od zapisu nierówności:

$$4x^2 - 8xy + 4y^2 + y^2 \geq 0.$$

Naszym celem jest przekształcenie lewej strony do postaci sumy kwadratów. Zauważmy, że trzy pierwsze wyrazy możemy zgrupować i zastosować wzór skróconego mnożenia:

$$4x^2 - 8xy + 4y^2 = (2x - 2y)^2.$$

Podstawiając tę postać do naszej nierówności, otrzymujemy:

$$ (2x - 2y)^2 + y^2 \geq 0.$$

2. Interpretacja postaci sumy kwadratów.

Otrzymaliśmy sumę dwóch kwadratów: $ (2x - 2y)^2 $ oraz $ y^2 $. Wiemy, że dla każdej liczby rzeczywistej $ z $, kwadrat tej liczby $ z^2 $ jest zawsze większy lub równy zero, czyli:

$$ (2x - 2y)^2 \geq 0 \quad \text{oraz} \quad y^2 \geq 0.$$

Suma dwóch nieujemnych liczb jest również nieujemna, co oznacza, że:

$$ (2x - 2y)^2 + y^2 \geq 0.$$

3. Wniosek końcowy.

Z powyższych przekształceń wynika, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x $ i $ y $, wyrażenie $ (2x - 2y)^2 + y^2 $ jest zawsze większe lub równe zero. Tym samym nierówność:

$$4x^2 - 8xy + 4y^2 + y^2 \geq 0$$

jest prawdziwa dla każdej pary liczb rzeczywistych $ x $ i $ y $.

Wniosek:

Nierówność została udowodniona dla wszystkich liczb rzeczywistych $ x $ i $ y $.