Szukaj
Zadanie 27
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $4x^2-8xy+5y^2\ge 0$
Należy wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych lewa strona będzie większa lub równa zero, czyli ma być dodatnia lub równa zero. Aby było to spełnione musimy doprowadzić lewą stronę do takiej postaci, że podstawiając pod argumenty $x$ i $y$ dowolne liczby dodatnie i ujemne, otrzymamy liczbę dodatnią. Czyli przekształćmy lewą stronę w sumę kwadratów:
$4x^2-8xy+4y^2+y^2\ge 0$
Jak można zauważyć trzy pierwsze wyrazy można przekształcić zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
$(2x-2y)^2+y^2\ge 0$
Otrzymaliśmy sumę dwóch kwadratów. Ponieważ każda liczba rzeczywista, a także suma liczb rzeczywistych podniesiona do kwadratu daje liczbę większą lub równą zero.
Czyli dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i $y$: $(2x-2y)^2\ge 0$ oraz $y^2\ge 0$, a co za tym idzie suma tych dwóch także będzie większa lub równa zeru.
Cytat na dziś
Matematyka tylko wtedy będzie mogła rozwijać się równomiernie we wszystkich kierunkach, gdy żadna z dziedzin badawczych nie zostanie zarzucona.
F.Klein