Zadanie 27
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $4x^2-8xy+5y^2\ge0$
Aby wykazać, że dana nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x $ i $ y $, musimy udowodnić, że wyrażenie po lewej stronie jest zawsze większe lub równe zero. Innymi słowy, wyrażenie to musi być nieujemne dla dowolnych wartości $ x $ i $ y $.
Rozwiązanie:
1. Analiza wyrażenia i przekształcenie do postaci sumy kwadratów.
Rozpocznijmy od zapisu nierówności:
$$4x^2 - 8xy + 4y^2 + y^2 \geq 0.$$
Naszym celem jest przekształcenie lewej strony do postaci sumy kwadratów. Zauważmy, że trzy pierwsze wyrazy możemy zgrupować i zastosować wzór skróconego mnożenia:
$$4x^2 - 8xy + 4y^2 = (2x - 2y)^2.$$
Podstawiając tę postać do naszej nierówności, otrzymujemy:
$$ (2x - 2y)^2 + y^2 \geq 0.$$
2. Interpretacja postaci sumy kwadratów.
Otrzymaliśmy sumę dwóch kwadratów: $ (2x - 2y)^2 $ oraz $ y^2 $. Wiemy, że dla każdej liczby rzeczywistej $ z $, kwadrat tej liczby $ z^2 $ jest zawsze większy lub równy zero, czyli:
$$ (2x - 2y)^2 \geq 0 \quad \text{oraz} \quad y^2 \geq 0.$$
Suma dwóch nieujemnych liczb jest również nieujemna, co oznacza, że:
$$ (2x - 2y)^2 + y^2 \geq 0.$$
3. Wniosek końcowy.
Z powyższych przekształceń wynika, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x $ i $ y $, wyrażenie $ (2x - 2y)^2 + y^2 $ jest zawsze większe lub równe zero. Tym samym nierówność:
$$4x^2 - 8xy + 4y^2 + y^2 \geq 0$$
jest prawdziwa dla każdej pary liczb rzeczywistych $ x $ i $ y $.
Wniosek:
Nierówność została udowodniona dla wszystkich liczb rzeczywistych $ x $ i $ y $.