Zadanie 28

(2pkt)

Dany jest kwadrat $ABCD$. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$. Punkty $K$ i $M$ są środkami odcinków - odpowiednio - $AE$ i $EC$. Punkty $L$ i $N$ leżą na przekątnej $BD$ tak, że $|BL|=\frac{1}{3}|BE|$ i $|DN|=\frac{1}{3}|DE|$ (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta $KLMN$ do pola kwadratu $ABCD$ jest równy $1:3$.

Matura 2015 zadanie 28

Rozwiązanie

Aby rozwiązać to zadanie, musimy obliczyć stosunek pola czworokąta $KLMN$ do pola kwadratu $ABCD$. Skorzystamy z własności przekątnych rombu oraz kwadratu.

Rozwiązanie:

1. Wypisanie danych z treści zadania.

Zadanie dotyczy porównania pola czworokąta $KLMN$, który jest rombem, do pola kwadratu $ABCD$. Aby obliczyć pole rombu, potrzebujemy długości jego przekątnych. Zakładając, że długość przekątnej kwadratu $|AC|$ wynosi $d$, możemy wyznaczyć długości przekątnych rombu $KLMN$:

Długość przekątnej $|KM| = \frac{1}{2}d$, ponieważ punkty $K$ i $M$ są środkami odcinków $AE$ i $EC$, a zatem dzielą przekątną $AC$ kwadratu na pół.
Długość przekątnej $|LN| = \frac{2}{3}d$, ponieważ punkty $L$ i $N$ leżą na przekątnej $BD$ kwadratu, a odcinki $|BL| = \frac{1}{3}|BE|$ i $|DN| = \frac{1}{3}|DE|$. Cała przekątna $BD$ jest równa przekątnej $AC$ kwadratu, czyli $d$.

2. Obliczenie pola rombu i kwadratu.

Pole rombu oraz kwadratu można obliczyć, wykorzystując długości ich przekątnych. Wzór na pole rombu i kwadratu przy użyciu przekątnych to:

$$ P = \frac{1}{2} \cdot \text{długość pierwszej przekątnej} \cdot \text{długość drugiej przekątnej} $$

Obliczamy pole rombu $KLMN$:

$$ P_{r} = \frac{1}{2} \cdot |KM| \cdot |LN| $$

$$ P_{r} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}d \cdot \frac{2}{3}d $$

$$ P_{r} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} d^2 $$

$$ P_{r} = \frac{1}{6}d^2 $$

Obliczamy pole kwadratu $ABCD$:

$$ P_{k} = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BD| $$

Wiemy, że $|AC| = d$ i $|BD| = d$, zatem:

$$ P_{k} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot d $$

$$ P_{k} = \frac{1}{2}d^2 $$

3. Porównanie pola rombu i kwadratu.

Teraz porównamy pola czworokąta $KLMN$ i kwadratu $ABCD$, obliczając stosunek tych pól:

$$ \frac{P_{r}}{P_{k}} = \frac{\frac{1}{6}d^2}{\frac{1}{2}d^2} $$

Uproszczamy wyrażenie, dzieląc oba pola przez $d^2$:

$$ \frac{P_{r}}{P_{k}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{3} $$

Wniosek:

Stosunek pola czworokąta $KLMN$ do pola kwadratu $ABCD$ wynosi $\frac{1}{3}$. Tym samym udowodniliśmy, że stosunek pola czworokąta $KLMN$ do pola kwadratu $ABCD$ jest równy $\frac{1}{3}$.