Zadanie 29

W tym zadaniu musimy znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej na przedziale $ \langle0;4\rangle $. Funkcja kwadratowa może przyjmować swoje ekstremalne wartości w punktach krańcowych przedziału lub w wierzchołku paraboli, jeśli wierzchołek znajduje się w tym przedziale. Wartości funkcji na krańcach przedziału są nam znane, ale musimy także sprawdzić wartość funkcji w wierzchołku paraboli.

1. Wyznaczenie współrzędnej $ x $ wierzchołka paraboli

Funkcja kwadratowa ma postać ogólną $ f(x) = ax^2 + bx + c $. Współrzędna $ x $ wierzchołka paraboli, oznaczana jako $ x_{W} $, jest dana wzorem:

$$x_{W} = \frac{-b}{2a}.$$

Dla naszej funkcji $ f(x) = x^2 - 6x + 3 $, mamy $ a = 1 $ i $ b = -6 $. Podstawiając te wartości, otrzymujemy:

$$x_{W} = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3.$$

Współrzędna $ x $ wierzchołka paraboli wynosi $ 3 $. Ponieważ $ x = 3 $ znajduje się w przedziale $ \langle0;4\rangle $, musimy uwzględnić wartość funkcji w tym punkcie, aby znaleźć ekstremalne wartości na tym przedziale.

2. Obliczenie wartości $ f(0) $, $ f(4) $ oraz $ f(3) $

Teraz obliczymy wartości funkcji w punktach krańcowych przedziału oraz w wierzchołku paraboli:

Obliczenie $ f(0) $:

Podstawiając $ x = 0 $ do wzoru funkcji, otrzymujemy:

$$f(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 3 = 3.$$

Obliczenie $ f(4) $:

Podstawiając $ x = 4 $ do wzoru funkcji, otrzymujemy:

$$f(4) = 4^2 - 6 \cdot 4 + 3 = 16 - 24 + 3 = -5.$$

Obliczenie $ f(3) $:

Podstawiając $ x = 3 $ do wzoru funkcji, otrzymujemy:

$$f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 3 = 9 - 18 + 3 = -6.$$

3. Analiza wyników

Na podstawie obliczeń widzimy, że najmniejsza wartość funkcji na przedziale $ \langle0;4\rangle $ wynosi $ -6 $, co występuje w punkcie $ x = 3 $. Największa wartość funkcji na tym przedziale wynosi $ 3 $, co występuje w punkcie $ x = 0 $.

Wniosek:

Najmniejszą wartością funkcji kwadratowej na przedziale $ \langle0;4\rangle $ jest $ -6 $, a największą wartością jest $ 3 $.