Zadanie 30

W tym zadaniu musimy znaleźć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty oraz wyznaczyć punkt przecięcia tej prostej z osią x.

Rozwiązanie:

1. Ustalenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty $ A $ i $ B $.

Aby wyznaczyć równanie prostej, która przechodzi przez dwa punkty, skorzystamy ze wzoru na równanie prostej w postaci kierunkowej $ y = ax + b $. W tym celu podstawimy współrzędne punktów $ A = (-43, -12) $ oraz $ B = (50, 19) $ do tego wzoru, co pozwoli nam stworzyć układ równań:

$$ \begin{cases} -12 = -43a + b \\ 19 = 50a + b \end{cases} $$

Rozwiążemy ten układ równań, aby znaleźć wartości współczynników $ a $ i $ b $. Najprostszą metodą będzie eliminacja jednej z niewiadomych. Odejmujemy od siebie oba równania, co pozwoli nam pozbyć się współczynnika $ b $:

$$ -12 - 19 = (-43a + b) - (50a + b) $$

Upraszczamy to równanie:

$$ -31 = -93a $$

Podzielimy obie strony przez $ -93 $, aby znaleźć wartość $ a $:

$$ a = \frac{1}{3} $$

Znając wartość $ a $, podstawiamy ją do jednego z równań, aby znaleźć wartość $ b $. Wybierzmy drugie równanie:

$$ 19 = 50 \cdot \frac{1}{3} + b $$

Obliczamy wartość wyrażenia po prawej stronie:

$$ 19 = \frac{50}{3} + b $$

Przekształcamy równanie, aby wyznaczyć $ b $:

$$ b = 19 - \frac{50}{3} $$

W celu uzyskania wspólnego mianownika, przekształcamy to wyrażenie:

$$ b = \frac{57}{3} - \frac{50}{3} $$

Ostatecznie mamy:

$$ b = \frac{7}{3} $$

Zatem równanie prostej przechodzącej przez punkty $ A $ i $ B $ ma postać:

$$ y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3} $$

2. Obliczenie pierwszej współrzędnej punktu $ P $.

Punkt $ P $ to punkt przecięcia prostej z osią x, czyli punkt, w którym $ y = 0 $. Aby znaleźć współrzędną $ x $ punktu $ P $, podstawiamy $ y = 0 $ do równania prostej i rozwiązujemy równanie względem $ x $:

$$ \frac{1}{3}x + \frac{7}{3} = 0 $$

Odejmujemy $ \frac{7}{3} $ od obu stron równania:

$$ \frac{1}{3}x = -\frac{7}{3} $$

Mnożymy obie strony równania przez 3, aby znaleźć $ x $:

$$ x = -7 $$

Zatem pierwsza współrzędna punktu $ P $ wynosi $ x = -7 $, a pełne współrzędne punktu $ P $ to $ (-7, 0) $.

Wniosek:

Punkt przecięcia prostej z osią x ma współrzędne $ (-7, 0) $.