Zadanie 31

Aby znaleźć poszukiwany ułamek, który spełnia warunki zadania, musimy stworzyć odpowiedni układ równań oraz go rozwiązać.

Rozwiązanie:

1. Stworzenie układu równań.

Oznaczmy poszukiwany ułamek jako $ \frac{x}{y} $, gdzie $ x $ to licznik, a $ y $ to mianownik. Z treści zadania wynika, że:

• Jeżeli do licznika i mianownika dodamy połowę licznika, otrzymamy $ \frac{4}{7} $.
• Jeżeli do licznika i mianownika dodamy 1, otrzymamy $ \frac{1}{2} $.

Na podstawie tych informacji możemy zapisać układ równań:

$$ \begin{cases} \frac{x + \frac{1}{2}x}{y + \frac{1}{2}x} = \frac{4}{7} \\ \frac{x + 1}{y + 1} = \frac{1}{2} \end{cases} $$

2. Rozwiązanie układu równań.

Rozpoczniemy od mnożenia na krzyż w obu równaniach, aby pozbyć się ułamków i przekształcić równania do postaci bez ułamków:

$$ \begin{cases} 7 \cdot \left(x + \frac{1}{2}x\right) = 4 \cdot \left(y + \frac{1}{2}x\right) \\ 2 \cdot (x + 1) = y + 1 \end{cases} $$

Po uproszczeniu otrzymujemy:

$$ \begin{cases} 7x + \frac{7}{2}x = 4y + 2x \\ 2x + 2 = y + 1 \end{cases} $$

Aby wyeliminować ułamki, pomnożymy pierwsze równanie przez 2:

$$ \begin{cases} 2(7x + \frac{7}{2}x) = 2(4y + 2x) \\ 2x + 2 = y + 1 \end{cases} $$

Po wykonaniu mnożenia i uproszczeniu wyrażeń, otrzymujemy:

$$ \begin{cases} 14x + 7x = 8y + 4x \\ 2x + 2 = y + 1 \end{cases} $$

Uprośćmy oba równania:

$$ \begin{cases} 17x = 8y \\ y = 2x + 1 \end{cases} $$

3. Podstawienie wartości i obliczenia.

Teraz podstawimy wyrażenie $ y = 2x + 1 $ do pierwszego równania, aby znaleźć wartość $ x $:

$$ 17x = 8(2x + 1) $$

Rozwijamy nawias i upraszczamy:

$$ 17x = 16x + 8 $$

Odejmujemy $ 16x $ od obu stron równania:

$$ x = 8 $$

4. Obliczenie wartości mianownika poszukiwanego ułamka.

Znając wartość $ x = 8 $, podstawiamy ją do równania na $ y $:

$$ y = 2 \cdot 8 + 1 $$

Obliczamy wartość $ y $:

$$ y = 16 + 1 = 17 $$

Wniosek:

Poszukiwanym ułamkiem jest $ \frac{8}{17} $.