Zadanie 31

Aby znaleźć poszukiwany ułamek, który spełnia warunki zadania, musimy stworzyć odpowiedni układ równań oraz go rozwiązać.

Rozwiązanie:

1. Stworzenie układu równań.

Oznaczmy poszukiwany ułamek jako $\frac{x}{y}$, gdzie $x$ to licznik, a $y$ to mianownik. Z treści zadania wynika, że:

• Jeżeli do licznika i mianownika dodamy połowę licznika, otrzymamy $\frac{4}{7}$.
• Jeżeli do licznika i mianownika dodamy 1, otrzymamy $\frac{1}{2}$.

Na podstawie tych informacji możemy zapisać układ równań:

$$\{\begin{array}{l}\frac{x+\frac{1}{2}x}{y+\frac{1}{2}x}=\frac{4}{7}\\ \frac{x+1}{y+1}=\frac{1}{2}\end{array}$$

2. Rozwiązanie układu równań.

Rozpoczniemy od mnożenia na krzyż w obu równaniach, aby pozbyć się ułamków i przekształcić równania do postaci bez ułamków:

$$\{\begin{array}{l}7\cdot (x+\frac{1}{2}x)=4\cdot (y+\frac{1}{2}x)\\ 2\cdot (x+1)=y+1\end{array}$$

Po uproszczeniu otrzymujemy:

$$\{\begin{array}{l}7x+\frac{7}{2}x=4y+2x\\ 2x+2=y+1\end{array}$$

Aby wyeliminować ułamki, pomnożymy pierwsze równanie przez 2:

$$\{\begin{array}{l}2(7x+\frac{7}{2}x)=2(4y+2x)\\ 2x+2=y+1\end{array}$$

Po wykonaniu mnożenia i uproszczeniu wyrażeń, otrzymujemy:

$$\{\begin{array}{l}14x+7x=8y+4x\\ 2x+2=y+1\end{array}$$

Uprośćmy oba równania:

$$\{\begin{array}{l}17x=8y\\ y=2x+1\end{array}$$

3. Podstawienie wartości i obliczenia.

Teraz podstawimy wyrażenie $y=2x+1$ do pierwszego równania, aby znaleźć wartość $x$:

$$17x=8(2x+1)$$

Rozwijamy nawias i upraszczamy:

$$17x=16x+8$$

Odejmujemy $16x$ od obu stron równania:

$$x=8$$

4. Obliczenie wartości mianownika poszukiwanego ułamka.

Znając wartość $x=8$, podstawiamy ją do równania na $y$:

$$y=2\cdot 8+1$$

Obliczamy wartość $y$:

$$y=16+1=17$$

Wniosek:

Poszukiwanym ułamkiem jest $\frac{8}{17}$.