Krok 1: Wyodrębnienie danych z treści zadania i utworzenie układu równań
W zadaniu mamy do czynienia z nieskończonym ciągiem arytmetycznym. Z informacji zawartych w treści wynika, że:
$$ \begin{cases} S_{11} = 187 \\ \frac{a_{1} + a_{3} + a_{9}}{3} = 12 \end{cases} $$
Krok 2: Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego
Ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego, $a_{n} = a_{1} + (n - 1)r$, możemy wyprowadzić następujące zależności:
- $a_{3} = a_{1} + 2r$
- $a_{9} = a_{1} + 8r$
- $a_{11} = a_{1} + 10r$
Używając wzoru na sumę $n$ pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego, $S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n$, mamy:
$$ S_{11} = \frac{a_{1} + a_{11}}{2} \cdot 11 $$
$$ S_{11} = \frac{a_{1} + (a_{1} + 10r)}{2} \cdot 11 $$
$$ S_{11} = \frac{2a_{1} + 10r}{2} \cdot 11 $$
$$ S_{11} = (a_{1} + 5r) \cdot 11 $$
$$ S_{11} = 11a_{1} + 55r $$
Podstawiając te przekształcenia do układu równań, otrzymujemy:
$$ \begin{cases} 11a_{1} + 55r = 187 \\ \frac{a_{1} + (a_{1} + 2r) + (a_{1} + 8r)}{3} = 12 \end{cases} $$
Upraszczając równania, mamy:
$$ \begin{cases} 11a_{1} + 55r = 187 \\ \frac{3a_{1} + 10r}{3} = 12 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_{1} + 5r = 17 \\ 3a_{1} + 10r = 36 \end{cases} $$
Mnożymy pierwsze równanie przez $-3$ i dodajemy oba równania stronami, aby wyeliminować zmienną $a_{1}$:
$$ \begin{cases} -3a_{1} - 15r = -51 \\ 3a_{1} + 10r = 36 \end{cases} $$
Dzięki temu możemy łatwo obliczyć wartość różnicy $r$:
$$ -5r = -15 $$
$$ r = 3 $$
Krok 3: Obliczenie wartości pierwszego i trzeciego wyrazu ciągu arytmetycznego
Podstawiając $r = 3$ do jednego z równań, obliczamy wartość pierwszego wyrazu $a_{1}$:
$$ 3a_{1} + 10r = 36 $$
$$ 3a_{1} + 10 \cdot 3 = 36 $$
$$ 3a_{1} = 6 $$
$$ a_{1} = 2 $$
Następnie obliczamy wartość trzeciego wyrazu tego ciągu:
$$ a_{3} = a_{1} + 2r $$
$$ a_{3} = 2 + 2 \cdot 3 $$
$$ a_{3} = 8 $$
Krok 4: Wyznaczenie wzoru na $a_{k}$ wyraz ciągu arytmetycznego
Wyraz $a_{k}$ wyraża się wzorem:
$$ a_{k} = a_{1} + (k - 1)r $$
$$ a_{k} = 2 + (k - 1) \cdot 3 $$
$$ a_{k} = 2 + 3k - 3 $$
$$ a_{k} = 3k - 1 $$
Krok 5: Obliczenie wartości $k$ w ciągu geometrycznym
Skoro wyrazy $a_{1}, a_{3}, a_{k}$ tworzą ciąg geometryczny, to zachodzi relacja:
$$ a_{3}^2 = a_{1} \cdot a_{k} $$
$$ 8^2 = 2 \cdot (3k - 1) $$
$$ 64 = 6k - 2 $$
$$ 66 = 6k $$
$$ k = 11 $$
Zatem wartość $k$ wynosi $11$. Obliczenia potwierdzają, że $a_{1}, a_{3}, a_{11}$ tworzą ciąg geometryczny.