(5pkt)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym $(a_{n})$, określonym dla $n\ge1$, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $187$. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa $12$. Wyrazy $a_{1}, a_{3}, a_{k}$ ciągu $(a_{n})$, w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny $(b_{n})$. Oblicz $k$.
Krok 1: Wyodrębnienie danych z treści zadania i utworzenie układu równań
W zadaniu mamy do czynienia z nieskończonym ciągiem arytmetycznym. Z informacji zawartych w treści wynika, że:
$$ \begin{cases} S_{11} = 187 \\ \frac{a_{1} + a_{3} + a_{9}}{3} = 12 \end{cases} $$
Krok 2: Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego
Ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego, $a_{n} = a_{1} + (n - 1)r$, możemy wyprowadzić następujące zależności:
Używając wzoru na sumę $n$ pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego, $S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n$, mamy:
$$ S_{11} = \frac{a_{1} + a_{11}}{2} \cdot 11 $$
$$ S_{11} = \frac{a_{1} + (a_{1} + 10r)}{2} \cdot 11 $$
$$ S_{11} = \frac{2a_{1} + 10r}{2} \cdot 11 $$
$$ S_{11} = (a_{1} + 5r) \cdot 11 $$
$$ S_{11} = 11a_{1} + 55r $$
Podstawiając te przekształcenia do układu równań, otrzymujemy:
$$ \begin{cases} 11a_{1} + 55r = 187 \\ \frac{a_{1} + (a_{1} + 2r) + (a_{1} + 8r)}{3} = 12 \end{cases} $$
Upraszczając równania, mamy:
$$ \begin{cases} 11a_{1} + 55r = 187 \\ \frac{3a_{1} + 10r}{3} = 12 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_{1} + 5r = 17 \\ 3a_{1} + 10r = 36 \end{cases} $$
Mnożymy pierwsze równanie przez $-3$ i dodajemy oba równania stronami, aby wyeliminować zmienną $a_{1}$:
$$ \begin{cases} -3a_{1} - 15r = -51 \\ 3a_{1} + 10r = 36 \end{cases} $$
Dzięki temu możemy łatwo obliczyć wartość różnicy $r$:
$$ -5r = -15 $$
$$ r = 3 $$
Krok 3: Obliczenie wartości pierwszego i trzeciego wyrazu ciągu arytmetycznego
Podstawiając $r = 3$ do jednego z równań, obliczamy wartość pierwszego wyrazu $a_{1}$:
$$ 3a_{1} + 10r = 36 $$
$$ 3a_{1} + 10 \cdot 3 = 36 $$
$$ 3a_{1} = 6 $$
$$ a_{1} = 2 $$
Następnie obliczamy wartość trzeciego wyrazu tego ciągu:
$$ a_{3} = a_{1} + 2r $$
$$ a_{3} = 2 + 2 \cdot 3 $$
$$ a_{3} = 8 $$
Krok 4: Wyznaczenie wzoru na $a_{k}$ wyraz ciągu arytmetycznego
Wyraz $a_{k}$ wyraża się wzorem:
$$ a_{k} = a_{1} + (k - 1)r $$
$$ a_{k} = 2 + (k - 1) \cdot 3 $$
$$ a_{k} = 2 + 3k - 3 $$
$$ a_{k} = 3k - 1 $$
Krok 5: Obliczenie wartości $k$ w ciągu geometrycznym
Skoro wyrazy $a_{1}, a_{3}, a_{k}$ tworzą ciąg geometryczny, to zachodzi relacja:
$$ a_{3}^2 = a_{1} \cdot a_{k} $$
$$ 8^2 = 2 \cdot (3k - 1) $$
$$ 64 = 6k - 2 $$
$$ 66 = 6k $$
$$ k = 11 $$
Zatem wartość $k$ wynosi $11$. Obliczenia potwierdzają, że $a_{1}, a_{3}, a_{11}$ tworzą ciąg geometryczny.
Aby zapewnić jak najlepsze wrażenia, korzystamy z technologii, takich jak pliki cookie, do przechowywania i/lub uzyskiwania dostępu do informacji o urządzeniu. Zgoda na te technologie pozwoli nam przetwarzać dane, takie jak zachowanie podczas przeglądania lub unikalne identyfikatory na tej stronie. Brak wyrażenia zgody lub wycofanie zgody może niekorzystnie wpłynąć na niektóre cechy i funkcje.