Zadanie 5

Aby rozwiązać to zadanie, musimy zrozumieć różne możliwe przypadki układów równań liniowych. Przypomnijmy sobie, że układ równań pierwszego stopnia to zestaw dwóch równań liniowych, które mogą mieć jedno, nieskończenie wiele lub żadnego rozwiązania, w zależności od ich współczynników.

Rozwiązanie:

1. Analiza możliwych przypadków.

Rozważmy ogólną postać układu równań liniowych:

$$ \begin{cases} y = a_1x + b_1 \\ y = a_2x + b_2 \end{cases} $$

Możemy mieć następujące sytuacje:

• Brak rozwiązań: Układ nie ma żadnych rozwiązań, jeśli proste są równoległe, ale różne, czyli współczynniki kierunkowe są takie same $a_1 = a_2$, ale wyrazy wolne różnią się $b_1 \neq b_2$.
• Jedno rozwiązanie: Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli proste przecinają się w jednym punkcie, co oznacza, że ich współczynniki kierunkowe są różne $a_1 \neq a_2$.
• Nieskończenie wiele rozwiązań: Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli obie proste pokrywają się, co oznacza, że współczynniki kierunkowe i wyrazy wolne są takie same $a_1 = a_2$ oraz $b_1 = b_2$.

2. Przekształcenie równań do postaci kierunkowej.

Przekształćmy dany układ równań do postaci, w której po lewej stronie znajduje się $y$:

$$ \begin{cases} x - y = 3 \\ 2x + 0,5y = 4 \end{cases} $$

Przekształcamy pierwsze równanie tak, aby wyrazić $y$:

$$-y = 3 - x \quad \Rightarrow \quad y = x - 3.$$

Teraz przekształcamy drugie równanie, aby również wyrazić $y$:

$$0.5y = 4 - 2x \quad \Rightarrow \quad y = -4x + 8.$$

Otrzymujemy układ w postaci:

$$ \begin{cases} y = x - 3 \\ y = -4x + 8 \end{cases} $$

3. Analiza współczynników kierunkowych.

Widzimy, że pierwsze równanie ma współczynnik kierunkowy $a_1 = 1$, a drugie równanie ma współczynnik $a_2 = -4$. Ponieważ $a_1 \neq a_2$, proste przecinają się w jednym punkcie, co oznacza, że układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Wniosek:

Układ równań posiada dokładnie jedno rozwiązanie, więc poprawna odpowiedź to B.

Jeśli film nie ładuje się poprawnie, może to być spowodowane blokerem reklam. Spróbuj wyłączyć blokera dla tej strony.