Zadanie 7

Aby rozwiązać to zadanie, musimy zacząć od wyznaczenia dziedziny równania, a następnie rozwiązać je, uwzględniając warunki wynikające z dziedziny.

Rozwiązanie:

1. Wyznaczenie dziedziny równania.

Równanie zawiera ułamek z niewiadomą w mianowniku:

$$\frac{x - 1}{x + 1} = x - 1.$$

Aby równanie miało sens, mianownik nie może być równy zero. Wyznaczamy, kiedy mianownik jest równy zero:

$$x + 1 \neq 0$$

$$x \neq -1.$$

Zatem dziedzina równania to wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem $ x = -1 $.

2. Mnożenie obu stron równania przez mianownik.

Aby pozbyć się ułamka, mnożymy obie strony równania przez $ x + 1 $:

$$\frac{x - 1}{x + 1} = x - 1 \quad \Longrightarrow \quad (x - 1) = (x - 1)(x + 1).$$

3. Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia.

Po prawej stronie mamy wyrażenie w postaci iloczynu, które można zapisać jako różnicę kwadratów:

$$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2.$$

Podstawiamy do równania:

$$x - 1 = x^2 - 1.$$

4. Przekształcenie równania do postaci kwadratowej.

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę równania, aby uzyskać równanie kwadratowe:

$$x - 1 - x^2 + 1 = 0$$

$$-x^2 + x = 0.$$

Przemnożymy całe równanie przez $ -1 $ dla uproszczenia:

$$x^2 - x = 0.$$

5. Rozwiązanie równania kwadratowego.

Wyciągamy $ x $ przed nawias:

$$x(x - 1) = 0.$$

Aby iloczyn dwóch czynników był równy zero, przynajmniej jeden z nich musi być równy zero:

$$x = 0 \quad \text{lub} \quad x - 1 = 0.$$

Stąd otrzymujemy dwa rozwiązania:

$$x = 0 \quad \text{lub} \quad x = 1.$$

6. Sprawdzenie zgodności z dziedziną.

Oba otrzymane rozwiązania $ x = 0 $ i $ x = 1 $ należą do dziedziny równania (przypomnijmy, że $ x \neq -1 $).

Wniosek:

Rozwiązaniami równania są $ x = 0 $ oraz $ x = 1 $. Odpowiedzią do zadania jest D.