Zadanie 30
(2pkt)
Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n}=2n^2+2n$ dla $n\ge1$. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Rozwiązanie
(2pkt)
Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n}=2n^2+2n$ dla $n\ge1$. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Krok 1: Obliczenie sumy dwóch kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego
Aby dowieść, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest kwadratem liczby naturalnej, najpierw musimy obliczyć wartości tych wyrazów. Wyraz $a_{n}$ jest podany wzorem w treści zadania, a wyraz $a_{n+1}$ otrzymamy, podstawiając $n+1$ zamiast $n$ do wzoru. Zatem suma $S$ dwóch kolejnych wyrazów jest równa:
$$ S = a_{n} + a_{n+1} $$
Podstawiając wzory:
$$ S = 2n^2 + 2n + 2(n+1)^2 + 2(n+1) $$
$$ S = 2n^2 + 2n + 2(n^2 + 2n + 1) + 2n + 2 $$
$$ S = 2n^2 + 2n + 2n^2 + 4n + 2 + 2n + 2 $$
$$ S = 4n^2 + 8n + 4 $$
Krok 2: Dowód, że suma jest kwadratem liczby naturalnej
Aby dowieść, że wyznaczona suma jest kwadratem liczby naturalnej, zauważmy, że można ją zapisać w postaci kwadratu sumy. Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, pozwala nam przekształcić wyrażenie:
$$ S = 4n^2 + 8n + 4 = (2n + 2)^2 $$
Widzimy, że wyrażenie $(2n + 2)^2$ jest kwadratem liczby naturalnej, ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, a suma $2n + 2$ również jest liczbą naturalną. To oznacza, że dowód został zakończony, a każda para kolejnych wyrazów ciągu tworzy kwadrat liczby naturalnej.
Aby zapewnić jak najlepsze wrażenia, korzystamy z technologii, takich jak pliki cookie, do przechowywania i/lub uzyskiwania dostępu do informacji o urządzeniu. Zgoda na te technologie pozwoli nam przetwarzać dane, takie jak zachowanie podczas przeglądania lub unikalne identyfikatory na tej stronie. Brak wyrażenia zgody lub wycofanie zgody może niekorzystnie wpłynąć na niektóre cechy i funkcje.