Zadanie: Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa $30$. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Rozwiązanie:
Krok 1: Określenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń (zdarzeń elementarnych)
Zbiór wszystkich liczb dwucyfrowych zawiera $90$ liczb (od $10$ do $99$). Ponieważ losowanie odbywa się bez zwracania, liczba możliwych kombinacji podczas dwóch losowań wynosi:
$$ |Ω| = 90 \cdot 89 = 8010 $$
Krok 2: Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających (gdzie suma wynosi $30$)
Musimy znaleźć wszystkie pary liczb dwucyfrowych, których suma wynosi $30$. Takimi parami są:
- $(10, 20)$
- $(11, 19)$
- $(12, 18)$
- $(13, 17)$
- $(14, 16)$
- $(16, 14)$
- $(17, 13)$
- $(18, 12)$
- $(19, 11)$
- $(20, 10)$
Istnieje zatem $10$ zdarzeń sprzyjających, czyli $|A| = 10$.
Krok 3: Obliczenie prawdopodobieństwa
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu dwóch liczb, których suma wynosi $30$, dzieląc liczbę zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych zdarzeń:
$$ P(A) = \frac{|A|}{|Ω|} = \frac{10}{8010} = \frac{1}{801} $$
Podsumowanie: Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb dwucyfrowych, których suma wynosi $30$, wynosi $\frac{1}{801}$.