Zadanie 17

W tym zadaniu najprościej będzie wykorzystać własności trójkątów o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$. Z tych własności wynika wprost, że długość dłuższej przyprostokątnej jest równa $|AB| = a\sqrt{3}$, a długość przeciwprostokątnej wynosi $|AC| = 2a$.

Obwód trójkąta będzie więc równy:

$$ \text{Obw} = a + a\sqrt{3} + 2a $$

$$ \text{Obw} = 3a + a\sqrt{3} $$

$$ \text{Obw} = (3 + \sqrt{3})a $$

Zatem obwód trójkąta jest równy $(3 + \sqrt{3})a$. Poprawna odpowiedź to C.

Gdybyśmy nie pamiętali o tych własnościach, możemy zawsze posłużyć się funkcjami trygonometrycznymi, aby wyznaczyć długości boków:

Wyznaczenie długości boku $AB$:

Skorzystamy z funkcji tangens:

$$ \tan30^\circ = \frac{a}{|AB|} $$

$$ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{|AB|} \quad \bigg/ \cdot |AB| $$

$$ a = \frac{\sqrt{3}}{3}|AB| \quad \bigg/ \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} $$

$$ |AB| = \frac{3}{\sqrt{3}}a $$

$$ |AB| = \frac{3\sqrt{3}}{3}a $$

$$ |AB| = a\sqrt{3} $$

Wyznaczenie długości boku $AC$:

Skorzystamy z funkcji sinus:

$$ \sin30^\circ = \frac{a}{|AC|} $$

$$ \frac{1}{2} = \frac{a}{|AC|} \quad \bigg/ \cdot |AC| $$

$$ a = \frac{1}{2}|AC| \quad \bigg/ \cdot 2 $$

$$ |AC| = 2a $$

Obliczenia te potwierdzają nasze wcześniejsze wnioski dotyczące długości boków trójkąta.