Zadanie 20

(1pkt)

Dany jest okrąg o środku $S = (2, 3)$ i promieniu $r = 5$ . Który z podanych punktów leży na tym okręgu?

A = (- 1, 7)

B = (2, - 3)

C = (3, 2)

D = (5, 3)

Rozwiązanie

I sposób - wyznaczając równanie okręgu

Krok 1: Wyznaczenie równania okręgu

To zadanie najprościej jest rozwiązać, wyznaczając równanie okręgu. Równanie okręgu o środku $S = (a, b)$ i promieniu $r$ ma postać:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Podstawiając dane z zadania, czyli $S = (2, 3)$ i $r = 5$ , otrzymujemy:

$(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 5^{2}$

$(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 25$

Krok 2: Sprawdzenie, który z punktów leży na okręgu

Jeśli punkt leży na okręgu, to spełnia równanie okręgu. Sprawdźmy to dla punktu $A = (- 1, 7)$ :

$(- 1 - 2)^{2} + (7 - 3)^{2} = 25$

$(- 3)^{2} + 4^{2} = 25$

$9 + 16 = 25$

$25 = 25$

To oznacza, że punkt $A$ leży na okręgu, więc poprawna odpowiedź to A.

II sposób - sprawdzając długości poszczególnych odcinków

Jeśli nie znasz równania okręgu, możesz skorzystać ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych. Sprawdzimy, który punkt tworzy z punktem $S$ odcinek o długości $5$ :

Wyznaczmy długość odcinka $S A$ :

$| S A | = \sqrt{(x_{A} - x_{S})^{2} + (y_{A} - y_{S})^{2}}$

$| S A | = \sqrt{(- 1 - 2)^{2} + (7 - 3)^{2}}$

$| S A | = \sqrt{(- 3)^{2} + 4^{2}}$

$| S A | = \sqrt{9 + 16}$

$| S A | = \sqrt{25}$

$| S A | = 5$

To oznacza, że punkt $A$ leży na okręgu, co potwierdza poprawność odpowiedzi A.