Zadanie 20

I sposób - wyznaczając równanie okręgu

Krok 1: Wyznaczenie równania okręgu

To zadanie najprościej jest rozwiązać, wyznaczając równanie okręgu. Równanie okręgu o środku $S = (a, b)$ i promieniu $r$ ma postać:

$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $$

Podstawiając dane z zadania, czyli $S = (2, 3)$ i $r = 5$, otrzymujemy:

$$ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5^2 $$

$$ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25 $$

Krok 2: Sprawdzenie, który z punktów leży na okręgu

Jeśli punkt leży na okręgu, to spełnia równanie okręgu. Sprawdźmy to dla punktu $A = (-1, 7)$:

$$ (-1 - 2)^2 + (7 - 3)^2 = 25 $$

$$ (-3)^2 + 4^2 = 25 $$

$$ 9 + 16 = 25 $$

$$ 25 = 25 $$

To oznacza, że punkt $A$ leży na okręgu, więc poprawna odpowiedź to A.

II sposób - sprawdzając długości poszczególnych odcinków

Jeśli nie znasz równania okręgu, możesz skorzystać ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych. Sprawdzimy, który punkt tworzy z punktem $S$ odcinek o długości $5$:

Wyznaczmy długość odcinka $SA$:

$$ |SA| = \sqrt{(x_{A} - x_{S})^2 + (y_{A} - y_{S})^2} $$

$$ |SA| = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (7 - 3)^2} $$

$$ |SA| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} $$

$$ |SA| = \sqrt{9 + 16} $$

$$ |SA| = \sqrt{25} $$

$$ |SA| = 5 $$

To oznacza, że punkt $A$ leży na okręgu, co potwierdza poprawność odpowiedzi A.