Zadanie 27
(2pkt)
Wykaż, że liczba $4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}$ jest podzielna przez $17$.
Rozwiązanie
(2pkt)
Wykaż, że liczba $4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}$ jest podzielna przez $17$.
Aby wykazać, że dana liczba $4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020}$ jest podzielna przez $17$, dobrze jest zamienić to dodawanie na iloczyn liczb, wyłączając przed nawias odpowiednie wartości. Celem jest uzyskanie jednego z czynników będącego liczbą $17$ lub jej wielokrotnością.
Na początku warto wyciągnąć przed nawias wartość $4^{2017}$:
$$ 4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = $$
$$ = 4^{2017} \cdot (1 + 4^1 + 4^2 + 4^3) = $$
$$ = 4^{2017} \cdot (1 + 4 + 16 + 64) = $$
$$ = 4^{2017} \cdot 85 = $$
$$ = 4^{2017} \cdot 17 \cdot 5 $$
W ostatnim kroku doprowadziliśmy wyrażenie do postaci, w której jednym z czynników jest liczba $17$. To kończy nasz dowód, ponieważ jeśli jednym z czynników jest $17$, to całe wyrażenie jest podzielne przez $17$.
Aby zapewnić jak najlepsze wrażenia, korzystamy z technologii, takich jak pliki cookie, do przechowywania i/lub uzyskiwania dostępu do informacji o urządzeniu. Zgoda na te technologie pozwoli nam przetwarzać dane, takie jak zachowanie podczas przeglądania lub unikalne identyfikatory na tej stronie. Brak wyrażenia zgody lub wycofanie zgody może niekorzystnie wpłynąć na niektóre cechy i funkcje.