Zadanie 30
(2pkt)
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość $26cm$, a jedna z przyprostokątnych jest o $14cm$ dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.
Krok 1: Wypisanie danych i wykorzystanie ich w Twierdzeniu Pitagorasa
Zgodnie z treścią zadania mamy:
- $x$ - długość pierwszej przyprostokątnej (w cm)
- $x + 14$ - długość drugiej przyprostokątnej (w cm)
- $26$ - długość przeciwprostokątnej (w cm)
Stosując Twierdzenie Pitagorasa, możemy ułożyć i rozwiązać następujące równanie:
$$ x^2 + (x + 14)^2 = 26^2 $$
$$ x^2 + x^2 + 28x + 196 = 676 $$
$$ 2x^2 + 28x + 196 = 676 $$
$$ 2x^2 + 28x - 480 = 0 \quad \bigg/ :2 $$
$$ x^2 + 14x - 240 = 0 $$
Podzielenie obu stron równania przez $2$ nie jest konieczne, ale upraszcza obliczenia, bazując na mniejszych liczbach.
Krok 2: Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego
Równanie kwadratowe ma postać $x^2 + 14x - 240 = 0$, gdzie współczynniki są: $a = 1$, $b = 14$, $c = -240$. Obliczamy deltę ($\Delta$):
$$ \Delta = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 196 + 960 = 1156 $$
$$ \sqrt{\Delta} = \sqrt{1156} = 34 $$
Obliczamy pierwiastki równania:
$$ x_{1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-14 - 34}{2 \cdot 1} = \frac{-48}{2} = -24 $$
$$ x_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-14 + 34}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10 $$
Odrzucamy ujemne rozwiązanie, ponieważ długość nie może być ujemna. Zatem $x = 10$.
Krok 3: Obliczenie obwodu trójkąta
Zgodnie z oznaczeniami z kroku pierwszego, boki trójkąta mają długości $10$, $24$ oraz $26$ cm. Obwód trójkąta wynosi więc:
$$ \text{Obwód} = 10 + 24 + 26 = 60 \, \text{cm} $$
Zatem obwód trójkąta wynosi $60$ cm.