Zadanie 31

Krok 1: Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego

Ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $a_{n} = a_{1} + (n - 1)r$, możemy zapisać wyrazy ciągu jako:

$$ a_{2} = a_{1} + r $$

$$ a_{3} = a_{1} + 2r $$

Skoro $a_{1} = 8$ oraz suma trzech początkowych wyrazów jest równa $S_{3} = 33$, to mamy:

$$ S_{3} = 33 $$

$$ a_{1} + a_{2} + a_{3} = 33 $$

$$ a_{1} + (a_{1} + r) + (a_{1} + 2r) = 33 $$

$$ 3 \cdot 8 + 3r = 33 $$

$$ 24 + 3r = 33 $$

$$ 3r = 9 $$

$$ r = 3 $$

Krok 2: Obliczenie wartości różnicy $a_{16} - a_{13}$

Obliczamy wyrazy $a_{16}$ i $a_{13}$:

$$ a_{16} = a_{1} + 15r $$

$$ a_{13} = a_{1} + 12r $$

Zatem różnica między wyrazami $a_{16}$ i $a_{13}$ wynosi:

$$ a_{16} - a_{13} = (a_{1} + 15r) - (a_{1} + 12r) = 3r = 3 \cdot 3 = 9 $$

Zatem różnica $a_{16} - a_{13}$ wynosi $9$.