Zadanie 5

To zadanie może wydawać się podchwytliwe, ale istnieje skuteczna metoda jego rozwiązania. Zamiast podstawiać wartości z odpowiedzi A, B, i C do równości i sprawdzać, kiedy jest ona prawdziwa (co można zrobić nawet na kalkulatorze, stosując przybliżenia), warto zauważyć pewną własność równań kwadratowych.

Jeśli mamy równość w postaci $a^2 = b^2$, to aby była ona prawdziwa, musi zachodzić jedna z dwóch możliwości:

• $a = b$
• $a = -b$

Na przykład, równość $5^2 = (-5)^2$ jest prawdziwa, ponieważ $5 = -(-5)$. W tym przypadku mamy do czynienia z sytuacją, gdzie $a = -b$. Dzięki tej własności możemy pozbyć się potęg i rozwiązać równanie w następujący sposób:

Rozważmy równość:

$$ (x\sqrt{2} - 2)^2 = (2 + \sqrt{2})^2 $$

Możemy teraz zapisać:

$$ x\sqrt{2} - 2 = 2 + \sqrt{2} \quad \text{lub} \quad x\sqrt{2} - 2 = -(2 + \sqrt{2}) $$

Rozwiązując pierwsze równanie:

$$ x\sqrt{2} = 2 + \sqrt{2} + 2 $$

$$ x\sqrt{2} = 4 + \sqrt{2} $$

$$ x = \frac{4 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} $$

$$ x = \frac{4\sqrt{2} + 2}{2} $$

$$ x = 2\sqrt{2} + 1 $$

Rozwiązując drugie równanie:

$$ x\sqrt{2} - 2 = -2 - \sqrt{2} $$

$$ x\sqrt{2} = -\sqrt{2} $$

$$ x = \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $$

$$ x = -1 $$

Ostatecznie, jedno z rozwiązań to $x = 2\sqrt{2} + 1$, ale to rozwiązanie nie znajduje się w odpowiedziach. Natomiast drugie rozwiązanie to $x = -1$, co odpowiada odpowiedzi C. W związku z tym, poprawna odpowiedź to C: prawdziwa dla $x = -1$.