Zadanie 6

Aby rozwiązać to zadanie, możemy podejść na dwa sposoby: sprawdzając kolejno każdą z odpowiedzi lub rozwiązując nierówność krok po kroku. Poniżej przedstawiamy dokładne rozwiązanie nierówności.

Rozważmy nierówność:

$$ (x^4 + 1)(2 - x) > 0 $$

Zauważmy, że wyrażenie $x^4 + 1$ jest zawsze dodatnie, niezależnie od wartości $x$, ponieważ każda liczba podniesiona do czwartej potęgi jest nieujemna, a dodanie 1 powoduje, że wynik jest większy od 0:

$$ x^4 + 1 > 0 \quad \text{dla każdego } x. $$

Dlatego możemy bez obaw podzielić obie strony nierówności przez $x^4 + 1$. W wyniku tego dzielenia znak nierówności nie zmieni się, ponieważ dzielimy przez liczbę dodatnią:

$$ \frac{(x^4 + 1)(2 - x)}{x^4 + 1} > \frac{0}{x^4 + 1} $$

$$ 2 - x > 0. $$

Teraz rozwiążemy prostą nierówność:

$$ 2 - x > 0 $$

$$ -x > -2 $$

Zmieniając stronę nierówności, zmieniamy także jej znak:

$$ x < 2. $$

Zatem zbiór rozwiązań tej nierówności to wszystkie liczby mniejsze od 2. Teraz przeanalizujmy odpowiedzi:

• A: $x = -3$ – należy do zbioru rozwiązań, ponieważ $-3 < 2$.
• B: $x = -1$ – również należy do zbioru rozwiązań, ponieważ $-1 < 2$.
• C: $x = 1$ – również należy do zbioru rozwiązań, ponieważ $1 < 2$.
• D: $x = 3$ – nie należy do zbioru rozwiązań, ponieważ $3 > 2$.

Z powyższego wynika, że jedyną liczbą, która nie należy do zbioru rozwiązań nierówności, jest liczba 3. Dlatego poprawna odpowiedź to D: $3$.