Zadanie 11

Aby określić, jaki typ ciągu mamy, musimy przeanalizować kilka jego wyrazów. Najprostszym sposobem jest obliczenie wartości trzech kolejnych wyrazów ciągu i na tej podstawie ustalenie jego charakterystyki. Wzór na $n$-ty wyraz ciągu jest podany jako $a_n = \frac{5 - 2n}{6}$. Podstawiając kolejne wartości $n = 1$, $n = 2$ oraz $n = 3$, obliczamy: $$ a_{1} = \frac{5 - 2 \cdot 1}{6} = \frac{5 - 2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$ $$ a_{2} = \frac{5 - 2 \cdot 2}{6} = \frac{5 - 4}{6} = \frac{1}{6} $$ $$ a_{3} = \frac{5 - 2 \cdot 3}{6} = \frac{5 - 6}{6} = -\frac{1}{6} $$ Teraz sprawdzimy, czy ciąg jest arytmetyczny czy geometryczny. Ciąg arytmetyczny ma stałą różnicę między kolejnymi wyrazami, podczas gdy ciąg geometryczny ma stały iloraz. Zauważmy, że $a_2 = \frac{1}{6}$ oraz $a_3 = -\frac{1}{6}$. Ciąg geometryczny z dodatnim pierwszym wyrazem nie mógłby mieć następnie wyrazu ujemnego, chyba że zmieniałby znak naprzemiennie, co nie jest tutaj przypadkiem. Sprawdźmy, czy różnica między wyrazami jest stała, co wskazywałoby na ciąg arytmetyczny. Zgodnie z definicją ciągu arytmetycznego, powinna zachodzić równość: $$ a_{2} = \frac{a_{1} + a_{3}}{2} $$ Podstawiając obliczone wartości: $$ \frac{1}{6} = \frac{\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{6}\right)}{2} $$ Aby uprościć równanie, mnożymy obie strony przez 2: $$ \frac{2}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} $$ Dodajemy $\frac{1}{6}$ do obu stron: $$ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$ Co prowadzi do: $$ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$ Skoro lewa strona równa się prawej, wnioskujemy, że ciąg jest arytmetyczny. Na koniec ustalamy różnicę $r$ tego ciągu arytmetycznego, odejmując wartość pierwszego wyrazu od drugiego: $$ r = a_{2} - a_{1} $$ Podstawiamy obliczone wartości: $$ r = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} $$ Zatem różnica ciągu arytmetycznego wynosi $-\frac{1}{3}$.