Aby znaleźć wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego, musimy najpierw obliczyć jego iloraz. Iloraz $q$ ciągu geometrycznego jest stosunkiem dwóch kolejnych wyrazów. W tym przypadku obliczamy go, dzieląc drugi wyraz przez pierwszy:
$$
q = \frac{a_{2}}{a_{1}}
$$
Podstawiamy dane:
$$
q = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}
$$
Po uproszczeniu otrzymujemy:
$$
q = 2
$$
Teraz możemy zapisać wzór ogólny na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego, który jest dany wzorem $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. Podstawiając $a_1 = \sqrt{2}$ i $q = 2$:
$$
a_{n} = \sqrt{2} \cdot 2^{n-1}
$$
Aby wyrazić ten wzór w postaci bardziej zbliżonej do odpowiedzi w zadaniu, przekształcamy go:
$$
a_{n} = \sqrt{2} \cdot 2^{n-1} = \sqrt{2} \cdot 2^n \cdot 2^{-1}
$$
$$
a_{n} = \sqrt{2} \cdot 2^n \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot 2^n}{2}
$$
Chociaż takiego wzoru nie ma w odpowiedziach, możemy zauważyć, że w liczniku powinniśmy mieć $2^n$, co znajduje się w odpowiedzi B. Aby osiągnąć ten zapis, musimy doprowadzić wzór do odpowiedniej postaci, wykonując mnożenie przez $\sqrt{2}$:
$$
a_{n} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2^n}{2 \cdot \sqrt{2}}
$$
$$
a_{n} = \frac{2 \cdot 2^n}{2 \cdot \sqrt{2}}
$$
$$
a_{n} = \frac{2^n}{\sqrt{2}}
$$
Po dalszym uproszczeniu wzór pasuje do odpowiedzi B, co potwierdza nasze wcześniejsze obliczenia.