W zadaniu musimy wykorzystać własności kątów wpisanych i środkowych opartych na tym samym łuku, aby znaleźć miarę kąta $α$.
Zapisanie zależności między kątem $α$ i $β$.
Z geometrii koła wiemy, że kąt wpisany jest połową kąta środkowego, jeśli oba kąty są oparte na tym samym łuku. W tym przypadku, kąty $α$ i $β$ są związane tak, że $β$ jest połową kąta $α$. Możemy to zapisać jako:
$$
β = \frac{1}{2} α
$$
Obliczenie miary kąta $α$.
Z treści zadania wiemy, że suma kątów $α$ i $β$ wynosi $111°$. Podstawiając zależność $β = \frac{1}{2}α$ do tego równania, otrzymujemy:
$$
α + β = 111°
$$
$$
α + \frac{1}{2}α = 111°
$$
Zredukujmy wyrazy podobne:
$$
\frac{3}{2}α = 111°
$$
Aby znaleźć $α$, mnożymy obie strony równania przez $2$:
$$
3α = 222°
$$
Teraz dzielimy obie strony przez $3$:
$$
α = 74°
$$
Otrzymaliśmy, że miara kąta $α$ wynosi $74°$. Jest to odpowiedź zgodna z obliczeniami i właściwościami kątów w geometrii koła.
