W tym zadaniu analizujemy zestaw liczb składający się z $m$ dwójek i $m$ czwórek. Naszym celem jest obliczenie odchylenia standardowego tego zestawu.
Najpierw obliczmy średnią arytmetyczną zestawu:
$$ \bar{x} = \frac{2m + 4m}{2m} = \frac{6m}{2m} = 3 $$
Średnia wynosi 3, co jest logiczne, gdyż jest to dokładnie środek między 2 a 4.
Teraz obliczmy wariancję (kwadrat odchylenia standardowego). Możemy to zrobić na dwa sposoby:
1) Korzystając z definicji wariancji:
$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n} $$
$$ \sigma^2 = \frac{m(2-3)^2 + m(4-3)^2}{2m} = \frac{m(-1)^2 + m(1)^2}{2m} = \frac{2m}{2m} = 1 $$
2) Korzystając z alternatywnego wzoru na wariancję:
$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 $$
$$ \sigma^2 = \frac{m(2^2) + m(4^2)}{2m} - 3^2 = \frac{4m + 16m}{2m} - 9 = 10 - 9 = 1 $$
Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji:
$$ \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{1} = 1 $$
Zatem odchylenie standardowe tego zestawu liczb wynosi 1.