Zadanie 28

Mamy udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b prawdziwa jest nierówność:

$$ \frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} \ge \frac{2}{a+b} $$

1. Analiza wstępna

Przed rozpoczęciem przekształceń, zauważmy, że wszystkie mianowniki są dodatnie, ponieważ a i b są dodatnie. To oznacza, że podczas przekształceń nie będziemy musieli zmieniać znaku nierówności.

2. Przekształcenia algebraiczne

Przekształćmy nierówność, krok po kroku:

1. Mnożymy obie strony przez 2a: $$ 1 + \frac{a}{b} \ge \frac{4a}{a+b} $$
2. Mnożymy obie strony przez 2b: $$ 2b + 2a \ge \frac{8ab}{a+b} $$
3. Mnożymy obie strony przez (a+b): $$ 2b(a+b) + 2a(a+b) \ge 8ab $$
4. Rozwijamy nawiasy: $$ 2ab + 2b^2 + 2a^2 + 2ab \ge 8ab $$
5. Grupujemy podobne wyrazy: $$ 2a^2 + 2b^2 + 4ab \ge 8ab $$
6. Odejmujemy 4ab od obu stron: $$ 2a^2 + 2b^2 \ge 4ab $$
7. Dzielimy obie strony przez 2: $$ a^2 + b^2 \ge 2ab $$
8. Odejmujemy 2ab od obu stron: $$ a^2 - 2ab + b^2 \ge 0 $$
9. Grupujemy: $$ (a-b)^2 \ge 0 $$

3. Wniosek

Otrzymaliśmy nierówność $(a-b)^2 \ge 0$, która jest zawsze prawdziwa dla liczb rzeczywistych, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny. To kończy dowód wyjściowej nierówności.

Warto zauważyć, że równość zachodzi tylko gdy $a = b$, co odpowiada przypadkowi, gdy w oryginalnej nierówności mamy równość po obu stronach.