Zadanie 31

Dane:

• $a_{12} = 30$ (dwunasty wyraz ciągu)
• $S_{12} = 162$ (suma dwunastu pierwszych wyrazów ciągu)

Naszym celem jest znalezienie $a_1$ (pierwszego wyrazu ciągu).

Rozwiązanie:

1. Wykorzystamy wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego:

$$ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n $$

2. Podstawiamy nasze dane do wzoru:

$$ 162 = \frac{a_1 + 30}{2} \cdot 12 $$

3. Przekształcamy równanie:

$$ 162 = (a_1 + 30) \cdot 6 $$

4. Dzielimy obie strony przez 6:

$$ 27 = a_1 + 30 $$

5. Odejmujemy 30 od obu stron:

$$ a_1 = 27 - 30 = -3 $$

Wniosek:

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi -3.

Weryfikacja:

Możemy sprawdzić nasze rozwiązanie, obliczając dwunasty wyraz ciągu i sumę pierwszych dwunastu wyrazów:

1. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: $a_n = a_1 + (n-1)r$, gdzie $r$ to różnica ciągu.

2. Obliczamy $r$: $r = \frac{a_{12} - a_1}{11} = \frac{30 - (-3)}{11} = 3$

3. Sprawdzamy $a_{12}$: $a_{12} = -3 + 11 \cdot 3 = 30$ (zgodne z danymi)

4. Sprawdzamy $S_{12}$: $S_{12} = \frac{-3 + 30}{2} \cdot 12 = 162$ (zgodne z danymi)

To potwierdza poprawność naszego rozwiązania.