Zadanie 32
(5pkt)
W układzie współrzędnych punkty $A=(4,3)$ i $B=(10,5)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$. Wierzchołek $C$ leży na prostej o równaniu $y=2x+3$. Oblicz współrzędne punktu $C$, dla którego kąt $ABC$ jest prosty.
Dane:
- Punkt A(3,4) i B(10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC
- Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = 2x + 3
- Kąt ABC jest prosty
Cel: Znaleźć współrzędne punktu C.
Rozwiązanie:
1. Określenie współrzędnych punktu C
Ponieważ C leży na prostej y = 2x + 3, jego współrzędne możemy zapisać jako C(x, 2x+3), gdzie x jest nieznane.
2. Obliczenie długości boku AB
Używamy wzoru na odległość między dwoma punktami:
$$ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(10-3)^2 + (5-4)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $$
3. Wyrażenie długości boków BC i AC
$$ |BC| = \sqrt{(x-10)^2 + (2x+3-5)^2} = \sqrt{(x-10)^2 + (2x-2)^2} $$
$$ |AC| = \sqrt{(x-3)^2 + (2x+3-4)^2} = \sqrt{(x-3)^2 + (2x-1)^2} $$
4. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
Ponieważ kąt ABC jest prosty, możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa: $AB^2 + BC^2 = AC^2$
$$ (5\sqrt{2})^2 + [(x-10)^2 + (2x-2)^2] = [(x-3)^2 + (2x-1)^2] $$
5. Rozwiązanie równania
Po uproszczeniu i przekształceniu otrzymujemy:
$$ 50 + x^2 - 20x + 100 + 4x^2 - 8x + 4 = x^2 - 6x + 9 + 4x^2 - 4x + 1 $$
$$ 5x^2 - 28x + 154 = 5x^2 - 10x + 10 $$
$$ -18x = -144 $$
$$ x = 8 $$
6. Obliczenie współrzędnej y punktu C
Podstawiamy x = 8 do równania prostej:
$$ y = 2(8) + 3 = 19 $$
Wniosek:
Współrzędne punktu C to (8, 19).
Weryfikacja:
Możemy sprawdzić, czy kąt ABC jest rzeczywiście prosty, obliczając iloczyn skalarny wektorów BA i BC:
$$ \vec{BA} = (7, 1) $$
$$ \vec{BC} = (-2, 14) $$
$$ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 7(-2) + 1(14) = -14 + 14 = 0 $$
Ponieważ iloczyn skalarny jest równy zero, wektory są prostopadłe, co potwierdza, że kąt ABC jest prosty.