Zadanie 1

Aby rozwiązać to zadanie, musimy skorzystać z definicji logarytmu i właściwości potęg.

Rozwiązanie:

1. Zamiana logarytmu na postać potęgi:

Definicja logarytmu mówi, że jeśli $\log_a b = x$, to $a^x = b$. Stosując tę definicję do naszego przypadku, otrzymujemy:

$$ \log_{\sqrt{2}} 2 = x \quad \Leftrightarrow \quad (\sqrt{2})^x = 2 $$

2. Rozwiązanie powstałego równania potęgowego:

Teraz musimy rozwiązać równanie $(\sqrt{2})^x = 2$. Aby to zrobić, przekształćmy prawą stronę równania tak, by mieć te same podstawy po obu stronach:

$$ (\sqrt{2})^x = 2 = (\sqrt{2})^2 $$

Ostatni krok wynika z faktu, że $(\sqrt{2})^2 = 2$.

3. Porównanie wykładników:

Gdy mamy równanie $a^x = a^y$, gdzie $a \neq 0$ i $a \neq 1$, to $x = y$. Stosując tę zasadę do naszego równania, otrzymujemy:

$$ (\sqrt{2})^x = (\sqrt{2})^2 \quad \Rightarrow \quad x = 2 $$

Wniosek:

Wartość $\log_{\sqrt{2}} 2$ wynosi 2.

Weryfikacja:

Sprawdźmy nasz wynik, podstawiając go do oryginalnego wyrażenia:

$$ \log_{\sqrt{2}} 2 = 2 \quad \Leftrightarrow \quad (\sqrt{2})^2 = 2 $$

$$ 2 = 2 $$

Równość jest prawdziwa, co potwierdza poprawność naszego rozwiązania.