W tym zadaniu mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym, którego wszystkie wyrazy są dodatnie. Wiemy również, że stosunek piątego do trzeciego wyrazu jest równy $\frac{1}{9}$. Iloraz tego ciągu oznaczymy jako $q$.
Rozwiązanie:
Rozpiszmy lewą stronę równania z treści zadania:
$$\frac{a_{5}}{a_{3}} = \frac{a_{3} \cdot q^2}{a_{3}} = q^2$$
Wiemy, że wynik tego działania jest równy $\frac{1}{9}$, więc możemy napisać:
$$q^2 = \frac{1}{9}$$
Stąd, wyciągając pierwiastek kwadratowy z obu stron, otrzymujemy:
$$q = \frac{1}{3} \quad\text{lub}\quad q = -\frac{1}{3}$$
Jednakże, ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, odrzucamy ujemne rozwiązanie:
$$q = \frac{1}{3}$$
Wniosek:
Iloraz ciągu geometrycznego wynosi $\frac{1}{3}$.