Zadanie 18

W tym zadaniu musimy znaleźć równanie prostej, która jest prostopadła do danej prostej oraz przechodzi przez określony punkt $P = \left(\frac{1}{2}, 0\right)$. Aby to zrobić, wyznaczymy najpierw współczynnik kierunkowy $a$ prostej prostopadłej, a następnie współczynnik $b$, czyli wyraz wolny.

Rozwiązanie:

1. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego $a$.

Iloczyn współczynników kierunkowych dwóch prostych prostopadłych musi być równy $-1$. Skoro współczynnik kierunkowy danej prostej wynosi $a = -4$, to współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do niej musi być równy:

$$-4 \cdot a = -1$$

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy:

$$a = \frac{1}{4}$$

Teraz wiemy, że prosta prostopadła ma współczynnik kierunkowy $a = \frac{1}{4}$. Dzięki temu możemy zawęzić nasze możliwości do odpowiedzi $B$ lub $D$.

2. Wyznaczenie współczynnika $b$.

Wiemy, że prosta, której szukamy, ma równanie postaci:

$$y = \frac{1}{4}x + b$$

Podstawimy współrzędne punktu $P = \left(\frac{1}{2}, 0\right)$, przez który ta prosta przechodzi, aby obliczyć współczynnik $b$:

Podstawiamy wartości do równania:

$$0 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + b$$

$$0 = \frac{1}{8} + b$$

Przenosząc $\frac{1}{8}$ na lewą stronę, otrzymujemy:

$$b = -\frac{1}{8}$$

Zatem równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt $P$ jest:

$$y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{8}$$

Wniosek:

Prawidłowa odpowiedź to $B$: współczynnik kierunkowy $a = \frac{1}{4}$ i wyraz wolny $b = -\frac{1}{8}$.