W tym zadaniu musimy znaleźć wzór funkcji $g(x)$, która jest obrazem funkcji liniowej $f(x)$ w symetrii względem początku układu współrzędnych. Funkcja $f(x)$ przechodzi przez punkty $A = (0, 4)$ oraz $B = (2, 2)$. Zamiast bezpośrednio przekształcać wzór funkcji, możemy skorzystać z przekształcenia punktów $A$ i $B$ względem początku układu współrzędnych, a następnie wyznaczyć wzór funkcji $g(x)$ przechodzącej przez nowe punkty $A'$ i $B'$.
Rozwiązanie:
1. Przekształcenie punktów $A$ oraz $B$.
Przekształcając punkty względem początku układu współrzędnych, zmieniamy znaki obu współrzędnych. Oznacza to, że punkt $A = (0, 4)$ przekształca się na $A' = (0, -4)$, a punkt $B = (2, 2)$ przekształca się na $B' = (-2, -2)$. Zatem mamy:
$$A' = (0, -4)$$
$$B' = (-2, -2)$$
2. Wyznaczenie wzoru funkcji $g(x)$.
Funkcja $g(x)$ jest prostą, która przechodzi przez punkty $A'$ oraz $B'$. Aby wyznaczyć wzór tej prostej, skorzystamy z postaci kierunkowej prostej $y = ax + b$. Podstawimy współrzędne punktów $A'$ i $B'$ do tej postaci, co pozwoli nam stworzyć układ równań:
$$\begin{cases} -4 = 0 \cdot a + b \\ -2 = -2 \cdot a + b \end{cases}$$
Z pierwszego równania bezpośrednio wynika, że:
$$b = -4$$
Podstawiamy tę wartość do drugiego równania, aby obliczyć współczynnik $a$:
$$-2 = -2a + (-4)$$
Dodajemy 4 do obu stron równania:
$$-2 + 4 = -2a$$
$$2 = -2a$$
Dzielimy obie strony przez $-2$:
$$a = -1$$
Zatem wzór funkcji $g(x)$ jest postaci:
$$g(x) = -x - 4$$
Wniosek:
Funkcja $g(x)$, która jest obrazem funkcji $f(x)$ w symetrii względem początku układu współrzędnych, wyraża się wzorem $g(x) = -x - 4$.
