Zadanie 22

W tym zadaniu musimy znaleźć długość tworzącej stożka $l$, wiedząc, że pole powierzchni całkowitej kuli i stożka są sobie równe, a ich promienie wynoszą $r = 4$. Skorzystamy z odpowiednich wzorów na pola powierzchni całkowitej kuli oraz stożka.

Rozwiązanie:

W tablicach matematycznych znajdziemy wzory na pole powierzchni całkowitej kuli i stożka:

$$P_{k} = 4\pi r^2$$

$$P_{s} = \pi r (r + l)$$

Z treści zadania wiemy, że pole powierzchni całkowitej kuli $P_{k}$ jest równe polu powierzchni całkowitej stożka $P_{s}$. Możemy zatem zapisać:

$$P_{k} = P_{s}$$

Podstawiamy wzory na pola powierzchni:

$$4\pi r^2 = \pi r (r + l)$$

Skoro promień $r = 4$, możemy go podstawić do równania. Warto również zauważyć, że po obu stronach równania mamy czynnik $\pi$, który możemy skrócić:

$$4\pi r^2 = \pi r (r + l) \quad \bigg/ :\pi$$

$$4r^2 = r(r + l)$$

Teraz podstawiamy wartość promienia $r = 4$:

$$4 \cdot 4^2 = 4 \cdot (4 + l)$$

Obliczamy wartości po obu stronach równania:

$$4 \cdot 16 = 4(4 + l)$$

$$64 = 16 + 4l$$

Przenosimy $16$ na lewą stronę równania, aby znaleźć $l$:

$$64 - 16 = 4l$$

$$48 = 4l$$

Dzielimy obie strony przez $4$:

$$l = \frac{48}{4} = 12$$

Wniosek:

Długość tworzącej stożka $l$ wynosi $12$.