W tym zadaniu musimy znaleźć wartość liczby , dla której mediana zestawu sześciu liczb wynosi . Liczby te to: . Mediana jest wartością środkową zestawu uporządkowanego w porządku niemalejącym. Przeanalizujemy różne możliwe pozycje liczby i obliczymy medianę dla każdego przypadku.
Rozwiązanie:
1. Uszeregowanie liczb.
Aby obliczyć medianę, musimy najpierw uporządkować liczby w kolejności niemalejącej. Liczba jest na razie nieznana, więc na początku pominiemy jej pozycję. Uporządkowane liczby bez wyglądają następująco:
2. Analiza wartości niewiadomej .
Zestaw liczb zawiera sześć elementów, co oznacza, że mediana będzie średnią arytmetyczną trzeciego i czwartego wyrazu po uporządkowaniu wszystkich liczb, w tym .
Rozważmy różne możliwe pozycje :
- Przypadek 1:
Jeśli jest mniejsze lub równe , wtedy zestaw uporządkowanych liczb wygląda następująco: . Trzecią liczbą jest , a czwartą , więc mediana wynosi:
Ta wartość mediany wynosi , a nie , więc ten przypadek odrzucamy.
- Przypadek 2:
Jeśli jest większe niż , zestaw uporządkowanych liczb wygląda następująco: . Trzecią liczbą jest , a czwartą , więc mediana wynosi:
Ta wartość mediany wynosi , a nie , więc ten przypadek także odrzucamy.
- Przypadek 3:
W tym przypadku liczba musi być trzecim lub czwartym wyrazem, aby wpływać na wartość mediany. Dlatego mediana będzie średnią i liczby , jeśli zajmuje trzecie miejsce, lub średnią i , jeśli zajmuje czwarte miejsce. Mediana wynosi , więc możemy ułożyć równanie:
Rozwiązujemy to równanie:
Wniosek:
Mediana będzie równa tylko wtedy, gdy . Odpowiednia wartość wynosi więc .