Zadanie 23

W tym zadaniu musimy znaleźć wartość liczby $a$, dla której mediana zestawu sześciu liczb wynosi $14$. Liczby te to: $4, 8, 21, a, 16, 25$. Mediana jest wartością środkową zestawu uporządkowanego w porządku niemalejącym. Przeanalizujemy różne możliwe pozycje liczby $a$ i obliczymy medianę dla każdego przypadku.

Rozwiązanie:

1. Uszeregowanie liczb.

Aby obliczyć medianę, musimy najpierw uporządkować liczby w kolejności niemalejącej. Liczba $a$ jest na razie nieznana, więc na początku pominiemy jej pozycję. Uporządkowane liczby bez $a$ wyglądają następująco:

$$4, 8, 16, 21, 25$$

2. Analiza wartości niewiadomej $a$.

Zestaw liczb zawiera sześć elementów, co oznacza, że mediana będzie średnią arytmetyczną trzeciego i czwartego wyrazu po uporządkowaniu wszystkich liczb, w tym $a$.

Rozważmy różne możliwe pozycje $a$:

• Przypadek 1: $a \leq 8$

Jeśli $a$ jest mniejsze lub równe $8$, wtedy zestaw uporządkowanych liczb wygląda następująco: $a, 4, 8, 16, 21, 25$. Trzecią liczbą jest $8$, a czwartą $16$, więc mediana wynosi:

$$\text{Mediana} = \frac{8 + 16}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

Ta wartość mediany wynosi $12$, a nie $14$, więc ten przypadek odrzucamy.

• Przypadek 2: $a > 21$

Jeśli $a$ jest większe niż $21$, zestaw uporządkowanych liczb wygląda następująco: $4, 8, 16, 21, a, 25$. Trzecią liczbą jest $16$, a czwartą $21$, więc mediana wynosi:

$$\text{Mediana} = \frac{16 + 21}{2} = \frac{37}{2} = 18.5$$

Ta wartość mediany wynosi $18.5$, a nie $14$, więc ten przypadek także odrzucamy.

• Przypadek 3: $8 < a \leq 21$

W tym przypadku liczba $a$ musi być trzecim lub czwartym wyrazem, aby wpływać na wartość mediany. Dlatego mediana będzie średnią $a$ i liczby $16$, jeśli $a$ zajmuje trzecie miejsce, lub średnią $16$ i $a$, jeśli zajmuje czwarte miejsce. Mediana wynosi $14$, więc możemy ułożyć równanie:

$$\frac{a + 16}{2} = 14$$

Rozwiązujemy to równanie:

$$a + 16 = 28$$

$$a = 12$$

Wniosek:

Mediana będzie równa $14$ tylko wtedy, gdy $a = 12$. Odpowiednia wartość $a$ wynosi więc $12$.