Zadanie 24

W tym zadaniu musimy obliczyć liczbę wszystkich pięciocyfrowych liczb, które można utworzyć z cyfr $0, 2,$ i $5$, przy czym każda cyfra może się powtarzać. Ważne jest, aby zrozumieć, że pierwsza cyfra takiej liczby nie może być zerem, ponieważ wówczas liczba przestałaby być pięciocyfrowa. Wykorzystamy regułę mnożenia, aby policzyć wszystkie możliwe kombinacje.

Rozwiązanie:

1. Wybór cyfry na pierwsze miejsce.

Pierwsze miejsce liczby pięciocyfrowej musi być zajęte przez jedną z cyfr $2$ lub $5$ (cyfra $0$ nie może się tutaj znaleźć, bo wtedy liczba nie byłaby pięciocyfrowa). Mamy zatem 2 możliwości wyboru cyfry na pierwszym miejscu:

• $2$
• $5$

2. Wybór cyfr na kolejne miejsca.

Na każdym z pozostałych czterech miejsc (drugim, trzecim, czwartym i piątym) liczby mogą znajdować się dowolne z trzech cyfr $0, 2,$ lub $5$. Oznacza to, że na każdym z tych miejsc mamy po 3 możliwości wyboru cyfry.

3. Zastosowanie reguły mnożenia.

Według reguły mnożenia, aby znaleźć liczbę wszystkich możliwych pięciocyfrowych liczb, które możemy utworzyć, mnożymy liczby możliwości dla każdego miejsca:

$$Ω = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$$

Obliczmy to krok po kroku:

$$Ω = 2 \cdot 3^4$$

$$Ω = 2 \cdot 81$$

$$Ω = 162$$

Wniosek:

Liczba wszystkich pięciocyfrowych liczb, w których występują wyłącznie cyfry $0, 2,$ i $5$, wynosi $162$.