Zadanie 26

W tym zadaniu musimy znaleźć wszystkie rozwiązania równania: $(x^3 - 8)(x^2 - 4x - 5) = 0$. Aby równanie mogło być równe zero, co najmniej jeden z czynników w nawiasach musi być równy zero. Rozwiążemy więc każde równanie oddzielnie.

Rozwiązanie:

Równanie można zapisać w postaci dwóch oddzielnych równań:

$$x^3 - 8 = 0 \quad\lor\quad x^2 - 4x - 5 = 0$$

I równanie: $x^3 - 8 = 0$

Rozwiązujemy równanie, przenosząc $-8$ na prawą stronę:

$$x^3 = 8$$

Następnie, wyciągamy pierwiastek sześcienny z obu stron równania:

$$x = \sqrt[3]{8}$$

Wynik to:

$$x = 2$$

II równanie: $x^2 - 4x - 5 = 0$

To równanie kwadratowe w postaci ogólnej. Możemy je rozwiązać, korzystając z wzoru na deltę (różniczkę kwadratową):

Obliczamy deltę ($\Delta$):

$$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)$$

$$\Delta = 16 + 20$$

$$\Delta = 36$$

Obliczamy pierwiastek kwadratowy z delty:

$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{36} = 6$$

Teraz możemy obliczyć pierwiastki równania kwadratowego, korzystając z wzoru kwadratowego:

$$x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{\Delta}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

$$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{\Delta}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Wniosek:

Równanie $(x^3 - 8)(x^2 - 4x - 5) = 0$ ma trzy rozwiązania: $x = 2$, $x = -1$, oraz $x = 5$.