Zadanie 28

W tym zadaniu mamy udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ wyrażenie $3a^2-2ab+3b^2$ jest zawsze większe lub równe zero. Skorzystamy z wzorów skróconego mnożenia, aby przekształcić wyrażenie i przeanalizować jego składniki.

Rozwiązanie:

1. Rozpisanie podanego wyrażenia.

Zauważmy, że możemy wykorzystać wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, czyli $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$. Celem jest przekształcenie wyrażenia $3a^2-2ab+3b^2$ w taki sposób, aby zawierało składniki odpowiadające temu wzorowi:

Rozpiszmy wyrażenie z treści zadania:

$$3a^2-2ab+3b^2$$

Możemy zapisać to wyrażenie jako sumę dwóch części:

$$3a^2-2ab+3b^2=(a^2-2ab+b^2)+2a^2+2b^2$$

Wykorzystując wzór na kwadrat różnicy, mamy:

$$(a^2-2ab+b^2)=(a-b{)}^2$$

Zatem wyrażenie przekształca się do postaci:

$$(a-b{)}^2+2a^2+2b^2$$

2. Interpretacja otrzymanego wyniku.

Przeanalizujmy teraz każdy składnik wyrażenia $(a-b{)}^2+2a^2+2b^2$:

• $(a-b{)}^2$ - jest to kwadrat różnicy, więc zawsze jest liczbą nieujemną, czyli większą lub równą zero, ponieważ każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny.
• $2a^2$ - jest to wyrażenie, które również jest zawsze nieujemne, ponieważ $a^2\ge 0$ dla każdej liczby rzeczywistej $a$, a mnożenie przez $2$ nie zmienia tego faktu.
• $2b^2$ - analogicznie, jest to wyrażenie nieujemne, ponieważ $b^2\ge 0$ dla każdej liczby rzeczywistej $b$, a mnożenie przez $2$ nie zmienia tego faktu.

Podsumowując, wyrażenie $(a-b{)}^2+2a^2+2b^2$ jest sumą trzech nieujemnych składników. Ponieważ suma liczb nieujemnych jest również liczbą nieujemną, możemy stwierdzić, że:

$$(a-b{)}^2+2a^2+2b^2\ge 0$$

Wniosek:

Wyrażenie $3a^2-2ab+3b^2$ jest zawsze większe lub równe zero dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$. Udowodniliśmy, że wyrażenie to nie może przyjmować wartości ujemnych.