Zadanie 30

W tym zadaniu musimy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5\}$, których iloczyn jest liczbą nieparzystą. Liczby są losowane ze zwracaniem, co oznacza, że po każdym losowaniu liczba wraca do zbioru, a więc mamy niezależne losowania. Skorzystamy z reguły mnożenia, aby policzyć wszystkie możliwe pary oraz te, które spełniają warunek zadania.

Rozwiązanie:

1. Ustalenie liczby zdarzeń elementarnych.

Każda z pięciu liczb może być wylosowana zarówno za pierwszym, jak i za drugim razem. Korzystając z reguły mnożenia, liczba wszystkich możliwych par liczb, które można wylosować, wynosi:

$$\Omega = 5 \cdot 5 = 25$$

Zatem liczba wszystkich zdarzeń elementarnych $\Omega$ to $25$.

2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.

Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie takich dwóch liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą. Aby iloczyn dwóch liczb był liczbą nieparzystą, obie liczby muszą być nieparzyste. W naszym zbiorze $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ liczbami nieparzystymi są: $1, 3, 5$.

Obliczmy liczbę par, w których zarówno pierwsza, jak i druga liczba są nieparzyste. Każda z tych liczb może być wylosowana zarówno za pierwszym, jak i za drugim razem. Stosując regułę mnożenia, liczba takich par wynosi:

$$A = 3 \cdot 3 = 9$$

Zatem liczba zdarzeń sprzyjających $A$ to $9$.

3. Obliczenie prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ (wylosowania dwóch liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą) jest równe stosunkowi liczby zdarzeń sprzyjających $A$ do liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych $\Omega$:

$$P(A) = \frac{A}{\Omega}$$

Podstawiamy obliczone wartości:

$$P(A) = \frac{9}{25}$$

Wniosek:

Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą, wynosi $\frac{9}{25}$.