Zadanie 30
(2pkt)
Ze zbioru liczb $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
W tym zadaniu musimy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5\}$, których iloczyn jest liczbą nieparzystą. Liczby są losowane ze zwracaniem, co oznacza, że po każdym losowaniu liczba wraca do zbioru, a więc mamy niezależne losowania. Skorzystamy z reguły mnożenia, aby policzyć wszystkie możliwe pary oraz te, które spełniają warunek zadania.
Rozwiązanie:
1. Ustalenie liczby zdarzeń elementarnych.
Każda z pięciu liczb może być wylosowana zarówno za pierwszym, jak i za drugim razem. Korzystając z reguły mnożenia, liczba wszystkich możliwych par liczb, które można wylosować, wynosi:
$$\Omega = 5 \cdot 5 = 25$$
Zatem liczba wszystkich zdarzeń elementarnych $\Omega$ to $25$.
2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie takich dwóch liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą. Aby iloczyn dwóch liczb był liczbą nieparzystą, obie liczby muszą być nieparzyste. W naszym zbiorze $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ liczbami nieparzystymi są: $1, 3, 5$.
Obliczmy liczbę par, w których zarówno pierwsza, jak i druga liczba są nieparzyste. Każda z tych liczb może być wylosowana zarówno za pierwszym, jak i za drugim razem. Stosując regułę mnożenia, liczba takich par wynosi:
$$A = 3 \cdot 3 = 9$$
Zatem liczba zdarzeń sprzyjających $A$ to $9$.
3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ (wylosowania dwóch liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą) jest równe stosunkowi liczby zdarzeń sprzyjających $A$ do liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych $\Omega$:
$$P(A) = \frac{A}{\Omega}$$
Podstawiamy obliczone wartości:
$$P(A) = \frac{9}{25}$$
Wniosek:
Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą, wynosi $\frac{9}{25}$.