Zadanie 32
(4pkt)
Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba $r=-4$ , a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}$ jest równa $16$.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę $k$, dla której $a_{k}=-78$.
W tym zadaniu mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym o różnicy $r = -4$. Musimy najpierw znaleźć wartość pierwszego wyrazu tego ciągu, $a_1$, a następnie określić, dla jakiej wartości indeksu $k$ wyraz $a_k$ jest równy $-78$.
Rozwiązanie:
Krok 1: Obliczenie sumy sześciu wyrazów tego ciągu.
Z treści zadania wynika, że średnia arytmetyczna sześciu początkowych wyrazów ciągu wynosi $16$. Średnia arytmetyczna jest równa sumie wyrazów podzielonej przez ich liczbę. Możemy więc zapisać równanie:
$$\frac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6}}{6} = 16$$
Przekształcamy je, aby obliczyć sumę sześciu wyrazów:
$$a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = 16 \cdot 6 = 96$$
Krok 2: Obliczenie wartości pierwszego wyrazu $a_1$.
Wiemy, że każdy wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać w postaci ogólnej: $a_{n} = a_{1} + (n-1)r$. Możemy więc rozpisać kolejne wyrazy ciągu:
- $a_{1}$
- $a_{2} = a_{1} + r$
- $a_{3} = a_{1} + 2r$
- $a_{4} = a_{1} + 3r$
- $a_{5} = a_{1} + 4r$
- $a_{6} = a_{1} + 5r$
Zatem suma tych wyrazów to:
$$a_{1} + (a_{1} + r) + (a_{1} + 2r) + (a_{1} + 3r) + (a_{1} + 4r) + (a_{1} + 5r) = 96$$
Uprośćmy to wyrażenie, sumując wyrazy:
$$6a_{1} + (0 + r + 2r + 3r + 4r + 5r) = 96$$
$$6a_{1} + 15r = 96$$
Z treści zadania wiemy, że różnica $r = -4$. Podstawiamy tę wartość do równania:
$$6a_{1} + 15 \cdot (-4) = 96$$
$$6a_{1} - 60 = 96$$
Dodajemy $60$ do obu stron równania:
$$6a_{1} = 156$$
Dzielimy obie strony przez $6$:
$$a_{1} = \frac{156}{6} = 26$$
Krok 3: Obliczenie wartości $k$ dla której $a_{k} = -78$.
Musimy teraz znaleźć wartość $k$, dla której wyraz $a_k$ jest równy $-78$. Używamy wzoru ogólnego dla ciągu arytmetycznego, przy czym zamiast symbolu $n$ używamy $k$ zgodnie z zapisem zadania:
$$a_{k} = a_{1} + (k-1)r$$
Podstawiamy znane wartości $a_{1} = 26$, $r = -4$ i $a_{k} = -78$:
$$-78 = 26 + (k-1) \cdot (-4)$$
Rozwijamy i upraszczamy równanie:
$$-78 = 26 - 4k + 4$$
$$-78 = 30 - 4k$$
Przenosimy $30$ na lewą stronę i zmieniamy znaki:
$$-78 - 30 = -4k$$
$$-108 = -4k$$
Dzielimy obie strony przez $-4$:
$$k = \frac{-108}{-4} = 27$$
Wniosek:
Pierwszy wyraz ciągu $a_1$ wynosi $26$, a wartość $k$ dla której $a_{k} = -78$, wynosi $27$. Oznacza to, że $27$-ty wyraz tego ciągu arytmetycznego jest równy $-78$.