Zadanie 26

Aby rozwiązać tę nierówność, musimy przekształcić ją do postaci ogólnej i znaleźć miejsca zerowe powstałego trójmianu kwadratowego.

Rozwiązanie:

1. Przekształcenie nierówności do postaci ogólnej.

Zaczynamy od przekształcenia nierówności, wymnażając wartości i przenosząc wszystko na lewą stronę:

$$2(x-1)(x+3) > x - 1$$

Wymnażamy wyrażenia:

$$ (2x - 2)(x + 3) > x - 1 $$

$$ 2x^2 + 6x - 2x - 6 > x - 1 $$

$$ 2x^2 + 4x - 6 > x - 1 $$

Następnie przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:

$$ 2x^2 + 3x - 5 > 0 $$

2. Obliczenie miejsc zerowych trójmianu kwadratowego.

Stosujemy wzór kwadratowy do obliczenia miejsc zerowych. Współczynniki trójmianu to $a = 2$, $b = 3$, $c = -5$. Obliczamy deltę:

$$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$$

Obliczamy pierwiastek z delty:

$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{49} = 7$$

Teraz obliczamy miejsca zerowe:

$$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 - 7}{4} = -\frac{5}{2}$$

$$x_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 + 7}{4} = 1$$

3. Szkicowanie wykresu paraboli.

Współczynnik $a$ jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane do góry. Na osi liczbowej zaznaczamy wyznaczone miejsca zerowe $x_1 = -\frac{5}{2}$ i $x_2 = 1$ jako puste kropki (ponieważ nierówność jest ściśle większa od zera).

4. Odczytanie rozwiązania nierówności.

Szukamy wartości $x$, dla których funkcja kwadratowa $2x^2 + 3x - 5$ jest większa od zera. Z wykresu wynika, że są to przedziały:

$$x \in \left(-\infty; -\frac{5}{2}\right) \cup (1; +\infty)$$

Wniosek:

Rozwiązaniem nierówności $2(x-1)(x+3) > x - 1$ jest przedział $x \in \left(-\infty; -\frac{5}{2}\right) \cup (1; +\infty)$.